单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级目录 上页 下页 返回 结束 第五节一有向曲面及曲面元素的投影 二 第二型曲面积分的概念与性质 三第二型曲面积分的计算法四两类曲面积分的联系第二型曲面积分 一有向曲面及曲面元素的投影? 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 其方向用法向量指向方

曲线曲面积分部分难题解答1．（P201第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）：（ⅰ）为抛物线上从原点到点的弧（ⅱ）为联结点和的三角形围线（ⅲ）为圆周（ⅳ）为螺线的 一段弧（ⅴ）为曲线上从点到的一段弧.解：（ⅰ）（令） （ⅱ）解： （ⅲ）解法一：所以解法二：化为极坐标表示：

第一类曲面积分第十章一主要内容二典型例题三同步练习四同步练习解答第四节( 三) 五类积分的统一表述及其共性背景定积分:第一类曲面积分:∫bax x f d ) (二重积分:∫ ∫Dy x f σ d ) (三重积分:v z y x f d ) (∫ ∫∫Ω第一类曲线积分:∫Ls y x f d ) (∫ ∫ΣS z y x f d ) (当被积函数非负时直杆构件质量平面薄板质量空间物

二第二型曲面积分的定义（P226）

第10章课后习题详解曲线积分与曲面积分例题分析★★1. 计算其中为连接的闭折线知识点：第一类曲线积分.思路: 由三段直线段组成故要分段积分.解： 如图 则注：利用被积函数定义在上故总有 .注：1)对弧长的曲线积分是没有方向性的积分限均应从小到大.2)对段的积分可化为对的定积分也可化为对的定积分但段段则只能化为对(或对)的定积分. ★★2.计算其中为圆周.知识点：第一类曲线积分.思路:

§7.5 第一型(对面积的)曲面积分的计算二 第一型曲面积分的计算记忆口诀：一代二换三投影 记忆口诀：一代二换三投影 记忆口诀：一代二换三投影 记忆口诀：一代二换三投影 §7.6 数量函数积分的应用举例1 质心§7.6 数量函数积分的应用

() - .00121345613457 .8 49: < ( => > > AB > . > CAD E<=D -D FGH<I(J(K =LM ( ( ( N G ( IOJOKPQ <R (S (T =( R PQ GUR PQ(V WT (YWS WZ S P (T P G ( LMPQ[ ]SLSLT <= LM <I(J(K = <R (S (T = IPQ[

第十一章自测题填空题1. 设为取正向的圆周则曲线积分（ ）.2. 设是抛物线上从点（11）到点（42）的一段弧则（ ）.3.为从A（321）到B（000）的直线段则=（ ）.4. 曲面积分( )其中为球面 的外侧5.设为三顶点分别为（00）（30）（32）的三角形的边界正方向则曲线积分=（ ）.单项选择题1. 设曲线积分与路径无关其中具

§10．5 对坐标的曲面积分有向曲面： 通常我们遇到的曲面都是双侧的．曲面的方向可以用曲面上的单位法向量n ?{cosa cosb cosg}的方向来确定． 例如由方程z?z(x y)表示的曲面分为上侧与下侧流向曲面一侧的流量： 显然在?t时间内流过s 的是一个弯曲的柱体

单击以编辑母版标题样式单击以编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级目录 上页 下页 返回 结束 第六节Green 公式Gauss 公式推广一高斯公式 二沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三通量与散度 高斯公式 通量与散度 第十一章 一高斯 ( Gauss ) 公式定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲? 上有连续的一阶偏导数 下面先证:函数 P Q R 在面?

第一型曲面积分的典型物理背景是求物质曲面的质量. 由于定积分重积分第一型曲线积分与第一型曲面积分它们同属黎曼积分因此具有相同实质的性质. 为曲面块的分割的取法 的面积. 圆域 被圆柱面 平面上的投影为根据计算公式 (2) 并使用极坐标变换 可得 处有 第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量. 与第二型曲线积分相类

单击以编辑母版标题样式单击以编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级首 页上 页下 页尾 页 高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式两类曲面积分之间的联系 一高斯公式定理 设空间闭区域?是由分片光滑的闭曲面?所围成? 函数P(x? y? z)Q(x? y? z)R(x? y? z)在?上具有一阶连续偏导数? 则有 这里?是?的整个边界的外侧.解1使用Gua

第一节 第一类曲面积分内容要点 一 第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面是光滑的 函数在上有界 把任意分成n小块(同时也表示第i小块曲面的面积)在上任取一点作乘积并作和 如果当各小块曲面的直径的最大值时 这和式的极限存在 则称此极限值为在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分记为 ()其中称为被积函数称为积分曲面.二对面积的曲面积分的计算法 ()例题选讲例1 计算曲面

高斯(Gauss) 公式通量与散度第十章一主要内容二典型例题三同步练习四同步练习解答第六节(3) 通量 Φ > 0 (<0 =0 ) 的物理意义以流速场为例.指定侧的流量元素： 流向 穿过曲面→n S) (dS n v d d→ → = ΦoS θ v d cos →=: )20 ( 0 dπθ < ≤ > Φ Q指定的一侧 流体的实际流动方向是→n) ( <) (→ n: )2(πθ >) (

忻州师范学院数学系高等数学教案 第十章 曲线积分与曲面积分 忻州师范学院高等数学课程建设组 1 第十章 曲线积分与曲面积分 教学目的： 1. 理解两类曲线积分的概念了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 2. 掌握计算两类曲线积分的方法 3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件会求全微分

第九章 曲 线 积分与曲面 积分本章将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形 从而引出曲线积分和曲面积分的概念 并介绍其性质计算应用及它们之间的联系. 二 对弧长 的曲线 积分的 计算法计算关键：弧微分 或讨论1．如果曲线 的方程是直角坐标方程 在 上连续 在 上有连续导数 这时 可由得.从而21 ds y dx 22( ) ( ) ds dx dy L( ) (

§ 第二型曲面积分一流量问题 二代1（1）（3）（5）（9）2

第十章 曲线积分与曲面积分(一)1．解：两点间直线段的方程为： 故 所以2．解：的参数方程为 则 所以 3．解：故4．解：如图：：：∴ 5．解： ∴ 6．解：∴7．解：8．解：直线段的方程为化成参数方程为 从

曲线积分与曲面积分的复习建议：方向导数按公式计算时给的方向向量没有单位化原因：对208页书上例2没有打重点星号用格林公式计算第二曲线积分没有真正掌握课上我们强调了三条：一封闭二方向三光滑对于在所围区域中不够光滑的函数PQ不可以直接用格林公式要挖了再用原因：对书上167页例3没有打重点星号或打了没有去体会两种情形的区别格林公式基本掌握但挖的方针没有掌握（挖时兼顾将被积函数的分母变为常数）原因：课上我

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级2008／05／29§18.3 Gauss公式一Gauss公式根据三重积分的计算法有:Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.使用Gauss公式时应注意:二简单应用(利用柱面坐标得)解空间曲面在 面上的投影域为曲面 不是封闭曲面 为利用高斯公式