§4线性方程组解的结构设有齐次线性方程组若记(1)一、齐次线性方程组解的结构则上述方程组(1)可写成向量方程为方程组的解向量.齐次线性方程组解的性质证明证明证毕1.基础解系的定义二、基础解系及其求法2.线性方程组基础解系的求法依次得说明1.基础解系不是唯一的.解例2解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解, 其基础解系中有三个线性无关的解向量所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的
§5惯性定理与正定二次型定义推论1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为指数推论3、实对称矩阵A、B合同 指数相等定理1任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形,且规范形是唯一1、惯性定理(1) 2、正定二次型则称f 为正定二次型2、正定性的判定 2)设实二次型 证:充分性显然 下证必要性,若 f 正定,取 经过非退化线性替换 X=CY 化成 则, 3)非退化线性替换不改变二次型的正定性 所
§3向量组的秩矩阵的行秩与列秩定义31一、向量组的秩注:1、向量组线性无关的充分必要条件是向量组的秩等于该组向量的个数;向量组线性相关的充分必要条件是向量组的秩小于该组向量的个数。定理31:向量组与它的任意一个极大无关组等价。推论31:一个向量组的任意两个极大无关组等价。推论32:一个向量组的秩是唯一确定的。定理32:设向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示,则向量组Ⅰ的秩不大于向量组Ⅱ的秩。定理33:等价
第四章 线性方程组与向量组的线性相关性§2向量组的线性相关性 21 n维向量22 向量组的线性相关性21 n维向量定义注意:向量按照矩阵的运算法则进行运算。 确定飞机的状态,需要以下6个参数:飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.例如22 向量组的线性相关性反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵线性组合与线性表示定义21
定义一、实向量内积与长度§54正交矩阵 称其为向量x,y的内积。说明内积的运算性质定义2 令向量的长度具有下述性质:解1 正交的概念2 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组.二、 正交向量组例已知三维向量空间中两个向量判断其是否正交。证明3 正交向量组的性质4 单位正交向量组(单位正交组,标准正交组,规范正交组)正交向量组的每个向量都是单位向量,称其为单位正
第一章矩阵的运算与初等变换§1矩阵与向量的概念§2矩阵的运算§3分块矩阵及矩阵的分块运算§4几种特殊矩阵§5矩阵的初等变换41对角矩阵§4几种特殊矩阵 称为对角矩阵(或对角阵)简记为??diag[?1? ?2? ? ? ?? ?n]?概念:性质:41对角矩阵则:性质:41对角矩阵则:性质:41对角矩阵则:性质:41对角矩阵则:标量矩阵:41对角矩阵42上(下)三角形矩阵概念:上三角形矩阵下三角形矩
第四章 线性方程组与向量组的线性相关性§1消元法与线性方程组的相容性 11 线性方程组的相容性与Cramer法则12 消元法解线性方程组? Ax?b?x1a1?x2a2? ? ? ? ? xnan?b? 线性方程组具有几种等价的形式?其中A?(aij)?(a1? a2? ? ? ?? an)称为系数矩阵? x?(x1? x2? ? ? ?? xn)T称为未知数向量? b?(b1? b2? ? ?
单击此处编辑母版标题样式1.解向量的概念设有齐次线性方程组若记(1)一齐次线性方程组解的性质则上述方程组(1)可写成向量方程若为方程 的解则 称为方程组(1) 的解向量它也就是向量方程(2)的解.2.齐次线性方程组解的性质(1)若 为 的解则 也是 的解.证明 (2)若 为
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单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级单击此处编辑母版标题样式线性方程组 第四章 第四章主要内容 第一节 消元法 第二节 线性方程组有解判别定理 第三节 线性方程组解的结构 消元法的步骤: 逐步消除变元的系数 把原方程组化为等价的三角形方程组 再用回代过程解此等价的方程组 从而得出原方程组的解.解=-2=-. ④ 99 ③ 3 ②
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