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  §4线性方程组解的结构设有齐次线性方程组若记（1）一、齐次线性方程组解的结构则上述方程组（1）可写成向量方程为方程组的解向量．齐次线性方程组解的性质证明证明证毕１．基础解系的定义二、基础解系及其求法２．线性方程组基础解系的求法依次得说明１．基础解系不是唯一的．解例2解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的

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  第三节矩阵的秩一 矩阵秩的概念二矩阵秩的求法三小结思考题一、矩阵秩的概念矩阵的秩例如 (1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0? 则R(A)?s? 若A中所有t阶子式全为0? 则R(A)?t? 几个简单结论 (2)若A为m?n矩阵? 则0?R(A)?min{m? n}? 例1解例2解问题：经过变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中

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  §5惯性定理与正定二次型定义推论1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为指数推论3、实对称矩阵A、B合同 指数相等定理1任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一1、惯性定理（1） 2、正定二次型则称f 为正定二次型2、正定性的判定 2）设实二次型 证：充分性显然 下证必要性，若 f 正定，取 经过非退化线性替换 X＝CY 化成 则， 3）非退化线性替换不改变二次型的正定性 所

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  第四章 线性方程组与向量组的线性相关性§2向量组的线性相关性 21 n维向量22 向量组的线性相关性21 n维向量定义注意：向量按照矩阵的运算法则进行运算。　　确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如22 向量组的线性相关性反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵线性组合与线性表示定义21

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  定义一、实向量内积与长度§54正交矩阵 称其为向量x,y的内积。说明内积的运算性质定义2 令向量的长度具有下述性质：解１ 正交的概念２ 正交向量组的概念　　若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．二、 正交向量组例已知三维向量空间中两个向量判断其是否正交。证明３ 正交向量组的性质４ 单位正交向量组（单位正交组，标准正交组，规范正交组）正交向量组的每个向量都是单位向量，称其为单位正

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  第一章矩阵的运算与初等变换§1矩阵与向量的概念§2矩阵的运算§3分块矩阵及矩阵的分块运算§4几种特殊矩阵§5矩阵的初等变换41对角矩阵§4几种特殊矩阵 称为对角矩阵(或对角阵）简记为??diag[?1? ?2? ? ? ?? ?n]?概念：性质：41对角矩阵则：性质：41对角矩阵则：性质：41对角矩阵则：性质：41对角矩阵则：标量矩阵：41对角矩阵42上（下）三角形矩阵概念：上三角形矩阵下三角形矩

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  第四章 线性方程组与向量组的线性相关性§1消元法与线性方程组的相容性 11 线性方程组的相容性与Cramer法则12 消元法解线性方程组? Ax?b?x1a1?x2a2? ? ? ? ? xnan?b? 线性方程组具有几种等价的形式?其中A?(aij)?(a1? a2? ? ? ?? an)称为系数矩阵? x?(x1? x2? ? ? ?? xn)T称为未知数向量? b?(b1? b2? ? ?

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  第三章 可逆矩阵§2方阵可逆的充要条件与逆矩阵计算 定义21定理21证明：同理可得定理22矩阵可逆的充要条件是，且　　　　　　证明：按逆矩阵的定义得解定理23 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是存在n阶矩阵B，使AB=E(或BA=E)，并且当A可逆时，证明若AB=E，推论21则A,B都可逆且互为逆。解：定理24 方阵A可逆的充分必要条件是A可以经过有限次初等变换化为单位矩阵。定理25 方阵A可逆的充分

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  §53方阵相似于对角矩阵的条件 相似矩阵及其性质方阵的相似对角化小结一、 相似矩阵及其性质1等价关系一、 相似矩阵及其性质证明：，则由矩阵秩的性质显然有证明：，则两端取行列式有又所以证明：，则两端取转置并记有所以证明：，则所以B可逆，又两端取逆有所以证明：，则对任意的正整数m及任意数k易证所以证明证明二、 方阵的相似对角化定理31n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条件是A存在n个线性无关的特征向量。