化二次型为标准形的方法探讨刘墨德(三明学院 数学与计算机科学系福建 三明 365004)摘要:文章提供了四种化二次型为标准形的方法即配方法正交变换法合同变换法Jacobi方法.关键词:对称矩阵 二次型 正交变换合同变换Some Discusses of Turn Quadratic Form Into Standard FormLIU Mo-de(Department of Math
§2 化二次型为标准形教学目的 通过2学时的教学使学生理解化二次型为标准形的定理及其矩阵形式基本掌握化二次型为标准形的配平方法与矩阵合同变换方法.教学内容本节讨论用非退化的线性替换化简二次型的原理与方法. 配平方方法可以认为二次型中最简单的形式是只包含平方项的二次型. (1)这一节的主要结果是定理5. 数域F上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成平方和(1
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级§6. 用配方法化二次型为标准形 解. 由于 f 中含有的平方项故把含有 x1 的项归为一类配方得:代入可得
第二节 化二次型为标准形若二次型经可逆线性变换化为只含平方项的形式则称之为二次型的标准形.由上节讨论知二次型在线性变换下可化为 如果为对角矩阵则就可化为标准形其标准形中的系数恰好为对角阵B的对角线上的元素因此上面的问题归结为A能否合同于一个对角矩阵.内容分布图示 ★ 二次型的标准性★ 用配方法化二次型为标准形★ 例1★ 例2★ 例3★ 例4★ 用初等变换化二次型为标准形★ 例5★ 例6★ 定
单击此处编辑母版标题样式一拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形其特点是保持几何形状不变. 问题 有没有其它方法也可以把二次型化为标准形 问题的回答是肯定的下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法. 1. 若二次型含有 的平方项则先把含有 的乘积项集中然后配方再对其余的变量同样进行直到都配成平方项为止经过非退化线性变换就得到标准形 拉格朗日配方法的步骤 2.
返回解成标准形并求所用的变换矩阵返回
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤从而得特征值9例21214
2二次型中不含有平方项 正交变换法的好处是有固定的步骤可以按部就班一步一步地求解但计算量通常较大 如果二次型中变量个数较少使用拉格朗日配方法反而比较简单.
例1再配方得
一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形,其特点是保持几何形状不变. 问题 有没有其它方法,也可以把二次型化为标准形? 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法拉格朗日配方法.拉格朗日配方法的步骤化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方解所用变换矩阵为解由于所给二次型中无平方项,所以再配方,得所用变换矩阵为二、小结 将一个二次型化为标准形,可以用正交变换法,
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