掌握高斯消元法及其计算机实现 高斯消去法思想: 把矩阵A化为一个上三角矩阵从而将原方程组约化为容易求解的等价三角方程组再通过回代过程既可逐一求出各未知数.方法: 逐列消元.例: 矩阵形式:注2:在消元过程中若 相对于该列中对角线以下的元素相比其绝对值很小时尽管消去运算可以进行下去但是用其作除数即使很小的舍入误差也会引起计算结果的严重扩散和失真例:其准确到小数点后第9位的解为但是若按照高斯
直接方法(高斯简单消去法 选主 元消去法 高斯—约当消去法 三角分解法 )范数与误差分析迭代法直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差)Jacobi迭代法的计算过程如下:40高斯—塞德尔迭代法(续4)45松弛法(续2)50矩阵的谱半径定理(续)55例 子60迭代法收敛性例题65误差估计(续1)70
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追赶法的计算公式
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级§1 引言与预备知识第5章 解线性代数方程组的直接法一引言线性方程组的来源线性方程组的分类线性方程组的两类解法:1直接法2迭代法二向量和矩阵(略)三特殊矩阵对角矩阵三对角矩阵上三角矩阵上海森伯(Hessenberg)阵对称矩阵埃尔米特矩阵对称正定矩阵正交矩阵酉矩阵初等置换阵置换阵定理1 设A∈Rnⅹn A非奇异?…定理2
单击此处编辑母版标题样式一线性方程组有解的判定条件问题:证必要性.()nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=()根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而这与原方程组有非零解相矛盾().nAR<即充分性.()nrAR<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为1其余自由未知量为0即可得方程组的一个非零解 .证必要性.有解设方程组bAx=()()BRAR<设则B的行阶梯形矩阵中最
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第三章 线性方程组迭代解法Numerical Value Analysis内容提要 引言 3.1(I) Jacobi 迭代法 3.1(II) Gauss-Seidel 迭代法 3.1(III) SOR法 3.2 迭代公式的矩阵表示学习要点引言引子迭代法的基本思想迭代法的主要步骤实际问题中的线性方程组Ax=b对其以不同的角度
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前面介绍的解线性方程组的直接法是解低阶稠密方程组的有效方法。但是,在工程技术中常产生大型稀疏矩阵方程组,例如由某些偏微分方程数值解所产生的线性方程组Ax=b,A的阶数很大,但零元素较多,迭代法是能够充分利用系数矩阵稀疏性特点的有效算法。第四章 解线性方程组的迭代法 迭代法的构造迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求线性方程组的解。 设有方程组,将其转化为等价的便于迭代的形式(这种转化总能实现,如令)
例:求解方程组ε(10) ∞=x(10)–x=则BJ=I- D-1 A= D-1(LU) fJ=D-1b称BJ为Jacobi迭代矩阵9 x1 – x2 – x3 = 7x1 10x2 – x3= 8x1 – x2 15x3= 13对k=012按格式: x(k1)=Bx(k)f 计算称Gauss-Seidel迭代法(D – L)x(k1) = b Ux (k)x1 =
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