第三节二重积分的应用一、几何上的应用 体积二、物理上的应用第十章 重 积 分例 1 求由旋转抛物面 z = 6 – x2 – y2 与 xy 坐标平面所围成的立体的体积 解由图 1 可见, 该立体是以曲面 z = 6 – x2 – y2 为顶, x2 + y2 = 6 为底的曲面柱体利用对称性,得图1一、几何上的应用 体积 及旋转抛物面 z = 6 – x2 – y2 所围成的立体的体积 解
二求曲面面积oxydσ所求曲面的方程为 如图设一薄片占有平面区域D面密度为DD
第三节 三重积分1的质量 M .在直角坐标系下常写作体积 从而6是由是由曲面是由面的平面截解直角坐标与柱面坐标的关系:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 例5 计算三重积分抛物面对于球坐标与直角坐标之间的关系:适用范围:解: 在球面坐标系下24计算若被积函数使用对称性时应注意:利用对称性
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第四节 重积分的应用第四节 重积分的应用一.几何应用解法一:将立体看作曲顶柱体利用二重积分计算.两种解法1.立体体积解法二:利用三重积分性质计算. 例1 计算由 和 围成的立体体积.由对称性只要求出第一卦限部分的体积再乘以8倍即可.看作曲顶柱体 例2 计算由 和三个坐标面围成的四面
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第四节 重积分的应用一重积分的几何应用二重积分的物理应用三利用对称性化简重积分四小结几何应用和物理应用求平面区域面积求空间区域体积求曲面的面积求物体质量求物体质心求转动惯量求引力一重积分的几何应用1平面区域面积:? 为D 的面积 则 解:解:2空间区域体
曲面面积公式为:例2. 计算双曲抛物面得两曲面的交线为圆周11之间均匀例2.薄片对 轴上单位质点的引力设物体占有空间区域 ? 有连续密度函数例
????i解:5x例2:求球面x2y2z2=a2含在圆柱面x2y2=ax(a>0)内部的那部分面积.x0对弧长曲线积分的几何意义?z0xzyx2y2=1四弧长(1) 平面薄板 D 质量面密度?(x y)解:体密度为x(y≥0)y有R其中???? 形心为y
一、立体体积 二、物体的重心 三、物体的转动惯量 四、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的应用 1 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3 解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便2 用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、
单击以编辑母版标题样式单击以编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第三节一三重积分的概念 二三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第九章 一三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想 采用?引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的物质求分布在 ? 内的物质的可得大化小 常代变 近似和 求极限解决方法:质量 M .密度函数为机动 目
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