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7 §88微分法的几何应用881空间曲线的切线与法平面M定义1:设是空间曲线上的一点,是上的另一点。当点M沿曲线趋近于点时,割线的极限位置,称为曲线在点处的切线。过点且与切线垂直的平面,称为曲线在点处的法平面。下面建立曲线的切线与法平面方程。设曲线的参数方程为, 其中、、可微。 当及时,曲线上对应的两点为 ,及,则割线的方程为 ,上式分母除以,得,当点时,有,对上式取极限,得 ①即为曲线在点处的
对应 曲线上的两点为成比例2. 空间曲面的切平面与法线:解:
第八节定积分的几何应用一、定积分的微元(元素)法 如右图,曲边梯形的面积如:几何中的面积、体积、弧长;物理中的功、转动惯量等二、几何应用1、面积 (1)直角坐标情形(1)画出图形;(2)定限(投影找区间);(3)找元素(穿刺找高度); (4)表为定积分并计算。 关键:元素或积分表达式。 求面积的一般步骤:(2)参数方程情形(3)极坐标情形2、体积(1)旋转体的体积
第六节 微分法在几何上的应用内容分布图示★ 空间曲线的切面与法平面★ 例1★ 空间曲线的切面与法平面 (续)★ 例2★ 例3★ 例4★ 空间曲面的切平面与法线★ 全微分的几何意义★ 曲面的法向量的方向余弦★ 例5★ 例6★ 例7★ 例8★ 内容小结★ 练习★ 习题8—6★ 返回讲解注意: 一 空间曲线的切线与法平面: 曲线在点处的切线方程为 ()曲线在某点
复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因 56多元函数微分学的几何应用一 空间曲线的切线与法平面:切线:设曲线方程为: 2法平面:过M0且与曲线在M0处的切线垂直的平面切线的方向向量为其法向量,故M0处的法平面方程为:注:可作为切线的方向向量, 如2若曲线方程为 y=y(x),z=z(x),则可把 x 看成参数,而得方向向量 解
第 六 节 微分法在几何上的应用教学目的:根据导函数的几何性质学习并掌握空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线方程的形成过程和确定方法.教学重点:空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线的方程.教学难点:曲线切线曲面切平面的切向量.教学内容:一空间曲线的切线与法平面1.空间曲线的方程为的情形设 (1)都可导.在曲线上取对应于的一点及邻近的对应于的一点.
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一一元向量值函数及其导数空间曲线的一般方程x若平面光滑曲线方程为二空间曲线的切线与法平面 过曲线?上t?t0所对应的点M0切线方程为zt??3t2 设M0(x0 y0 z0)是曲面?? F(x y z)?0上的一点 ?是曲面?上过点M0的任意一条曲线 曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面?在点M0的切平面 通过点
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