数 学 系 常微分方程作为微分方程的基本类型之一在自然界与工程界有很广泛的应用很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题很多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解 常微分方程的解是一个函数但是计算机没有办法对函数进行运算因此常微分方程的数值解并不是求函数的近似而是求解函数在某些节点的近似值③ 解差分方程求出格点函数1向前差商公式2收敛性是隐格式要迭
Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. Phys. North China Elec. P.U.第八
2.欧拉法与改进欧拉法1424
() 假设初值问题()的解y=y(x)唯一存在且足够光滑.对求解区域[ab]做剖分 o称为Euler中点公式或称双步Euler公式.hh= 实际上常将Euler公式与梯形公式结合使用: 称之为改进的Euler方法. 这是一种单步显式方法.012345678910 如果单步差分公式的局部截断误差为O(hp1)则称该公式为p阶方法.这里p为非负整数
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第五章 常微分方程数值解 Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ? 待求解的问题:一阶常微分方程的初值问题 Initial-Value Problem : 解的存在唯一性(常微分方程理论):只要 f (x y) 在[a b] ? R1
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级§8 二阶常微分方程边值问题数值方法考虑方程:结合下述三种边界条件之一:边界问题的解法:8.1 打靶法将边值问题转化为初值问题考虑或者说适当选择 基本思路:第三边界问题(8.4)式中它们分别称为第一第二有限差分法打靶法初始值使初值问题的解满足边值条件然后用求解初值问题的任一种有效的数值方法求解以第一边界条件为例考虑边值问题:取
Click 欧拉公式的几何意义14
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第八章 常微分方程 第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法 第二节 一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 第三节 二阶常系数线性微分方程 一微分方程的基本概念 二分离变量法 第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法微分方程的阶:微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数定义为该微分方
数 学 系例:我们对区间做等距分割:称为分割③ 稳定性问题 在假设 yi = y(xi)即第 i 步计算是精确的前提下考虑的截断误差 Ri = y(xi1) ? yi1 称为局部截断误差 local truncation error 我们考虑简单情况:仅初值有误差而其他计算步骤无误差6梯形法-基于数值积分的公式只要近似地算出右边的积分
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 第九章 常微分方程的数值解法 §1引言 §2初值问题的数值解法--单步法 §3龙格-库塔方法 §4收敛性与稳定性 §5初值问题的数值解法―多步法 §6方程组和刚性方程 §7习题和总结主 要 内 容主 要 内 容研究的问题数值解法的意义§1 引 言现实世界中大多数事物内部联系非常复杂找出其状态和状态变化规律之间的相互联
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