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  引例设有一块长方形的金属板在一定的温度边界条件下金属板受热产生如图温度分布场.设有一只蚂蚁在板中逃生至板中某处问这只蚂蚁在该点处沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向爬行这样就要计算场中各点沿不同方向的温度变化率从而确定出温度下降最快那个方向这个方向即所谓梯度方向.由此引入函数的方向导数与梯度的概念.完

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  梯度的概念设函数在平面区域内续偏导数则对于每一点个向量定义具有一阶连都可以定出一的梯度记为即设是与方向同方向的单位向量 则有称它为函数在点梯度的概念梯度的概念其中于是是梯度在射线上的投影.易见当时达到最大值.由此得到下列结论:结论函数在某点的梯度是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为轴到梯度的转角的正切为梯度的概念轴到梯度的转角的正切为梯度的模为梯

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