重积分第二节 二重积分的计算方法第二节 二重积分的计算方法一.在直角坐标系中的计算方法在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线将积分区域D分成n份小矩形可知:利用几何意义--曲顶柱体的体积研究其计算方法:将曲顶柱体看作已知平行截面面积的立体利用定积分计算.化成两次定积分1.设X型域abDabxxyzA(x)先对y后对x的二次积分在D内任取一点x作平行于 yoz 面的截面.曲边梯形2.设Y型域同理可得:先
一利用直角坐标计算二重积分[X-型]在分割后的三个区域上分别使用积分公式积分区域如图解利用二重积分计算空间立体体积先去掉绝对值符号如图区域特征如图极坐标系下区域的面积
一、直角坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法 第二节二重积分的计算方法第十章 重 积 分设 A(x)表示过点 x 任取子区间 [x, x + dx] ? [a, b] 且垂直 x 轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积,1设积分区域 D 可用不等式组表示为如图所示,选 x 为积分变量,x ?[ a,b ],一、直角坐标系中的累次积分法 则曲顶柱体体积 V 的微元 dV 为式中
第十章 则3其中D 是抛物线所围成的闭区域.视为Y–型区域 则解: 令D1二利用极坐标计算二重积分?i2. 利用极坐标计算二重积分18?D:Br4. 怎样利用极坐标计算二重积分(2)则(2)由于利用例6的结果 得4x = y8解:积分区域 D 为:?36变换:通过变换T 在 xoy 面上得到一个四边边形 计算二重积分 其中则设区域由于被积函数分块表示故将 分成练 习 题
当被积函数X-型域或Y-型域 所围成的闭区域. 解解: 积分域由两部分组成:解在闭区域上连续所围成.思考与练习证明特别若D:解: 在极坐标系下非常有用的反常积分公式解(在积分中注意使用对称性)解
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第二节 二重积分的计算一. 直角坐标系下二重积分的计算二. 极坐标系下二重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 教学目标掌握在直角坐标系下 x - 型区域和 y - 型区域的二重积分计算方法.2. 利用极坐标计算二重积分. 3. 掌握二重积分交换积分次序的方法.4. 二重积分的换元法.机
二 极坐标系中的计算方法y可以证明:如图所示:a 在区间[ab]内任取一点x过此点作与yoz面平行的平面它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形:b如右图所示yy解:x所以y所以解:解方程组-2其中D由故改变积分次序后得设其直角坐标为 其中 为极坐标系中的面积元素A 解:积分区域是如图所示的环域用极坐标计算方便2
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级三二重积分的换元法 第二节一利用直角坐标计算二重积分 二利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法一利用直角坐标计算二重积分如果积分区域为:[X-型]其中函数在区间[a b]上连续X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.回忆:已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(
复习与回顾一利用直角坐标系计算二重积分(3) [既非X-型域也非Y-型域] 先交下限写该线平行于坐标轴且同向94. 【例题部分】y =1DD 既是X—型域又是—Y型域yy=xD既是X—型域又是Y—型域15利用对称性 考虑第一卦限部分解作业:-1 ? x ? 1补例3分部积分法(略). (0506学年第一学期考试题A卷)(在积分中要正确选择积分次序)
第三节 二重积分的计算(2)有些二重积分其积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单如圆形或扇形区域的边界等. 此时如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.分布图示★ 利用极坐标系计算二重积分★ 二重积分化为二次积分★ 例1★ 例2★ 例3★ 例4★ 例5★ 例6★ 例7★ 例8★ 例9★ 例10★ 平面薄片的重心★ 例11★ 平面薄片的转动惯量★
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