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  §61 二次型 第六章 二次型与二次曲面= k1y12 + k2y22 + … +knyn2f(x1, x2, …, xn) = ?aijxixj i,j=1nx = PyP可逆x = PyP可逆= (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y标准形一般形?寻求可逆矩阵P, 使得PTAP =? AT = A二 用正交变换化实二次型为标准形 定理62 (主轴定理) 对于任何一个n元实二次型f = x

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  单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会实二次型的合同标准形与正交标准形杨忠鹏　陈智雄　晏瑜敏　林志兴2007年6月30日莆田学院数学系福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会一二次型的基本问题(1)(1)可被唯一表示为(2)基本问题：(3)其中 可逆常用的实二次型化简 2

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  §5 二次型及其标准形对应 投影变换 例 2阶方阵 对应 以原点为中心逆时针旋转j 角的旋转变换 例 2阶方阵 解析几何中二次曲线的一般形式ax2 bxy cy2 = 0 通过选择适当的的旋转变换使得 mx 2 ny 2 = 0 ．定义：含有 n 个变量 x1 x2 … xn 的二次齐次函数称为二次型．令 aij = aji则 2 aij xi xj = aij xi xj a

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  称为二次型.称为二次型的标准形（或法式）．方阵合同的性质：2．求特征向量　　2.　若二次型中不含有平方项但是 则先作可逆线性变换解定义： 规范形中的 k 称为二次型 （或对称矩阵A）的正惯性指数称 r-k 为二次型 （或对称矩阵A）的负惯性指数

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  §5二次型及其标准形三、用配方法化二次型为标准形二、二次型在可逆变换下的变化情况一、二次型的矩阵表示1例有心二次曲线方程①可取适当的坐标旋转变换:②方程①可化成标准方程③一、二次型的矩阵表示 2特点:(1) 变换阵(2) 可逆变换不改变常数(项)实质:经变换②二次齐次多项式,有交叉项二次齐次多项式, 无交叉项3定义11二次型是指二次齐次方程(二次齐次多项式)4 f可写成: 即5记其中矩阵Ａ为实对称

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  设二惯性定理进一步可得以下结果: 定义 平方项系数为1或-1的标准型称为二次型的规范型.用矩阵的语言描述上述定理：