常见类型解解作辅助方程原方程通解为设 的特解为
f(x)常见类型例1特征方程解原方程通解为所求非齐次方程特解为(待定系数法)练 习 题
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级一定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程 得故有特征方程特征根? 有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为? 有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为? 有一对共轭复根重
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第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程1推测:讨论:00234解56解78由第一种情形及 定理 4 的结论,对于此种类型,特解可设为:改写为如下形式:9解10解11解12第十二节 微分方程的幂级数解法 以这些常数为系数的级数(3)就是上面初值问题的解。一 、一阶线性微分方程13解 故设比较系数得于是所求解的幂级数展开式的开始几项为14二、 二阶齐次线性微分方程解满足定理的条件。15代入所给方程,并按 x 的升幂集项,然后比较系数得一般地由此可推得一般的于是所求的特解为16
1第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程小结思考题作业非齐次2方程对应齐次方程通解结构难点方法二阶常系数非齐次线性如何求非齐次方程特解?待定系数法3设非齐方程特解为求导代入原方程4综上讨论上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数)不是根是单根是重根5解对应齐次方程通解特征方程特征根例1(1) 求对应齐次方程的通解(2) 求非齐次方程的特解此题其中6代入方程, 得原方程通解为7代入
也是它的解. 但这个解中只含有一个任意常数C 显然它不是所给方程的通解.定理. (二阶齐次线性方程通解的结构)时 方程有两个相异实根 ( u(x) 待定).这时原方程有两个复数解:(3) 根据特征方程根的不同情况 写出微分方 程的通解. 例3 求微分方程
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级练习一:写出下列方程的一个特解形式故特解形式为:即故特解形式为:故特解形式为:故特解形式为:故特解形式为:故特解形式为:故特解形式为:练习二
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二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点:如何求特解?方法:待定系数法自由项为二阶常系数非齐次线性微分方程设非齐方程特解为代入原方程综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数)例1解特征方程特征根对应齐次方程通解代入方程, 得原方程通解为求通解解特征方程特征根齐通解即代入(*)式非齐通解为例2 分别是 的实部和虚部可设辅助方程由分解定理分别是以为自由项的
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