单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第五章 留数§1 孤立奇点但在z0的某一个去心邻域0<z-z0<d内处处解析 则z0称为函数不解析的点为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析f (z)的孤立奇点.不应认为函数的奇点都是孤立的. 例如z=0是函数 怎样小的去心领域内总有f (z)的奇点存在. 开成洛朗级数. 根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.可去奇点
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式1第五章 留数 ?留数理论是积分与级数理论相结合的产 物. 本章首先以洛朗级数为工具 先对解 析函数的孤立奇点进行分类 再讨论各类 孤立奇点的有效判别方法. 而后引进留数 的概念 介绍留数的计算方法以及留数定 理. 利用留数定理可以把计算沿闭路的积 分转化为计算在孤立奇点处的留数.2 ? 本章主要内容 ?孤立奇点
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rzz 注: 如果 f (z)在z0解析 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离 即R=a-z0. 例1 把函数 展开成z的幂级数. y的成立必须受x<1的限制 这一点往往使人难以理解 因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.这是z 的幂级数 设收敛半径为R: 例如级数OR2K2z0解: 函数
§23初等函数本节将微积分的初等函数推广到复变函数情形,给出基本初等函数的定义,研究这些基本初等函数的性质,并说明它的解析性。由此可以得到初等函数的相关性质。231 指数函数232 对数函数233 乘幂与幂函数234 三角函数和双曲函数235 反三角函数与反双曲函数本节内容指数函数的性质定义 231指数函数的概念231 指数函数(3)当I m (z) = 0,即z = x ∈ R时, 周期性质是实
rzz 注: 如果 f (z)在z0解析 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离 即R=a-z0. 例1 把函数 展开成z的幂级数. y的成立必须受x<1的限制 这一点往往使人难以理解 因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.这是z 的幂级数 设收敛半径为R: 例如级数OR2K2z0解: 函数
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1可去奇点定义4 如果罗伦级数中含有无穷多个 的负幂项那么孤立奇点 称为 的本性奇点. 在无穷远点的留数
的孤立奇点.不是孤立奇点.1.可去奇点解析的函数.的可去奇点.时的可去奇点.那末孤立奇点例5 限项.练习如果洛朗级数中含有无穷多个同时洛朗级数特点14m为某一正整数零点的充要条件是级公式知:练习(1)是在反之如果函数的奇点是使解析且注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .内解析 则称点24在去心邻域是那末如果的可去奇点 .的展开式:的解 3135
第二节 留数定义:1)可去奇点:第一节孤立奇点例2 求下列各函数的奇点并判别类型.解:定义:定理1.注:第一节孤立奇点第一节孤立奇点第一节孤立奇点第二节留数2. 留数的计算方法证明:第二节留数证明:第二节留数R第二节留数本节介绍利用留数计算几种特殊类型的定积分.若用万能代换计算较繁.第三节留数在定积分计算中的应用
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