例3研究级数敛性.解由于于是取不论多大只要取就有在区间上的一致收例3研究级数敛性.解由于于是取不论多大主要取就有在区间上的一致收例3研究级数敛性.解由于于是取不论多大主要取就有在区间上的一致收因此级数但不一致在上收敛收敛.完

例7设级数收敛发散证明：发散.证用反证法已知收敛假定收敛由收敛这与题设矛盾所以级数发散.与级数性质得知完

例10级数当时收敛有人说因为故级数收敛.你认为他的说法对解不对.前者级数的是一常数与无关而后者与有关事实上由级数的发散性可知级数也发散.吗完

例6解这是一个交错级数采用比值审敛法:所以原级数非绝对收敛.判别级数的敛散性.考察级数是否绝对收敛令由可知当充分大时有例6解这是一个交错级数采用比值审敛法:所以原级数非绝对收敛.判别级数的敛散性.考察级数是否绝对收敛令由可知当充分大时有所以原级数发散.故例6解这是一个交错级数采用比值审敛法:所以原级数非绝对收敛.判别级数的敛散性.考察级数是否绝对收敛令由可知当充分大时有完

2.判别级数的敛散性 .解因为即级数的一般项不趋于零 .故原级数发散 .完

例7判别级数的敛散性.解记采用比较法的极限形式取因所以原级数与级数具有相同的敛散性而知从例7判别级数的敛散性.解采用比较法的极限形式取因所以原级数与级数具有相同的敛散性而知从例7判别级数的敛散性.解采用比较法的极限形式取因所以原级数与级数具有相同的敛散性而知从当时级数收敛当时级数发散.完

3. 判别级数的敛散性 .解用级数敛散性的定义来判别 .因为是依单调减少数列且即数列有下界故又所以从而即原级数收敛 .完

例8判别级数是否收敛.解将所给级数得到新级数因为收敛而级数发散所以级数发散根据性质3的推论1每相邻两项加括号去括号后的级数例8判别级数是否收敛.解因为收敛而级数发散所以级数发散根据性质3的推论1去括号后的级数例8判别级数是否收敛.解因为收敛而级数发散所以级数发散根据性质3的推论1去括号后的级数也发散.完

例7设级数收敛发散证明：发散.证用反证法已知收敛假定收敛由收敛这与题设矛盾所以级数发散.与级数性质得知完

例7解且由交错级数审敛法原级数收敛.另一方面判别级数的收敛性.因为即而发散故发散.例7解且由交错级数审敛法原级数收敛.另一方面判别级数的收敛性.因为即而发散故发散.是条件收敛的.于是级数例7解且由交错级数审敛法原级数收敛.另一方面判别级数的收敛性.因为即而发散故发散.完

1.判别级数的敛散性 .解一般项为从而前项的部分和为1.判别级数的敛散性 .解1.判别级数的敛散性 .解故原级数收敛 .完

例10级数当时收敛有人说因为故级数收敛.你认为他的说法对解不对.前者级数的是一常数与无关而后者与有关事实上由级数的发散性可知级数也发散.吗完

例8判别级数是否收敛.解将所给级数得到新级数因为收敛而级数发散所以级数发散根据性质3的推论1每相邻两项加括号去括号后的级数例8判别级数是否收敛.解因为收敛而级数发散所以级数发散根据性质3的推论1去括号后的级数例8判别级数是否收敛.解因为收敛而级数发散所以级数发散根据性质3的推论1去括号后的级数也发散.完

例3解题设级数绝对收敛敛故题设级数条件收敛.判别级数的收敛性.由易见当时当时但发散完由莱布尼茨定理知收

例4求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛该级数发散.所以收敛半径当时级数成为当时级数成为从而所求收敛域为例4求下列幂级数的收敛域:解例4求下列幂级数的收敛域:解故收敛因为即题设级数只在处收敛.半径因为所以收敛半径所求收敛域为完

根值判别法(柯西判别法)证当 有限时时有定理4设是正项级数当时且或当时级数收敛当时包括级数发散本判别法失效.则对任意的存在当即当时取使根值判别法(柯西判别法)当时取使根值判别法(柯西判别法)当时取使则当时有即所以由比较判别法知 因为级数收敛 收敛.取使当时或则当时有即级数级数的一般项不趋于零即当时根据级数收敛的必要条件知发散.根值判别法(柯西判别法)根据级数收敛的必要条件知发散.根值判别法

1.判别级数的收敛性 .解因为故函数单调递减从而数列单调减少 .又所以题设级数收敛 .但1.判别级数的收敛性 .解所以题设级数收敛 .但1.判别级数的收敛性 .解所以题设级数收敛 .但而发散故级数发散 .所以级数条件收敛 .完

例4解故由定理知原级数绝对收敛.判别级数的收敛性.而收敛收敛完

性质2在级数中去掉加上或改变有限项不会改变级数的收敛性.证这里只证明改变级数的前面有限项不会改变级数的收敛性其它两种情况容易由此结果设有级数(1)得到一个新的级数(2)推出.设级数(1)的前项和为若改变它的前 个有限项设级数(1)的前项和为设级数(1)的前项和为则设级数(2)的前项和为则于是数列与具有相同的收敛性即级数(1)与(2)具有相同的收敛性.完

例7解且由交错级数审敛法原级数收敛.另一方面判别级数的收敛性.因为即而发散故发散.例7解且由交错级数审敛法原级数收敛.另一方面判别级数的收敛性.因为即而发散故发散.是条件收敛的.于是级数例7解且由交错级数审敛法原级数收敛.另一方面判别级数的收敛性.因为即而发散故发散.完