第六章 二次型将二次型表示成矩阵形式用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：一是化二次型为标准形这主要是正交变换法（这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法）在没有其他要求的情况下用配方法得到标准形可能更方便些二是二次型的正定性问题对具体的数值二次型一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别而抽象的由给定矩阵的正定性证明相关矩阵的正定性时可利用标准形规范形特征值等到证明这时应熟悉二次型正定有

引例：方程第五章 二次型2.二次型 对称矩阵.解:f (Y )Y TDY(1) Y T B YA(C- 1) TB C-1)证: 设 经可逆线性替换 XCY 得:Y T BY合同 给定对称矩阵AY TDY第五章 二次型单位化后按列排成矩阵得作业：P171：1(2) 2(3)3(1)8

第五讲 二次型 例 1 用 非退化 线性 替 换化 二次型1 5 1 2 2 3 3 4 4 5( ) f x x x x x x x x x x 为 标准型 写出非退化 线性 替换 求 出 正 惯性指 数和 符号 差 解： 2 2 2 21 5 1 2 3 4( ) f x x z z z z 其中 正 惯性指 数2 符号 差为0 例 2 设1 2 1 2( )

《线性代数》下页定义1 设a=(a1 a2 ??? an )T与b=(b1 b2 ??? bn )T是Rn中的两个向量则实数内积的定义下页 证明：设a1a2???am为正交向量组且有数k1k2???km使 k1a1k2a2? ? ?kmam=0 上式两边与向量组中的任意向量ai求内积 aiT(k1a1k2a2

一ｎ元二次型二二次型的矩阵表示③ｆ称为对称矩阵Ａ的二次型记①反身性一配方法一惯性定理由前面的讨论可知 r 和 p 是由二次型： 唯一确定的 故是否正定.即知 是正定矩阵　　3.　根据正定二次型的判别方法可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法请大家自己推导．

问题　有没有其它方法也可以把二次型化为标准形含有平方项　　将一个二次型化为标准形可以用正交变换法也可以用拉格朗日配方法或者其它方法这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵无疑应使用正交变换法如果只需要找出一个可逆的线性变换那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤可以按部就班一步一步地求解但计算量通常较大如果二次型中变量个数较少使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是使用不同的

三矩阵的合同注意对称矩阵（这表明在选定文字　　　　　下二次型 完全由对称矩阵A决定.)二非退化线性替换0为可逆矩阵 .事实上 　1定义：设 　若存在可逆矩阵C可逆2非退化线性替换：2二次型X′AX可经非退化线性替换化为二型Y′BY

返回解成标准形并求所用的变换矩阵返回

一选择和填空1. 二次型的矩阵A? 2. 对称矩阵A?对应的二次型是的 3. 设二次型的标准形为则二次型的正惯性指标为（ ） B.-1 　　 　 . 设二次型的标准形为则二次型的秩为（ ） B.-1 　 　

定理2：可逆线性变换不改变二次型的正定性定义：位于矩阵A的最左上角的12···n阶子式称为矩阵 A的12···n阶顺序主子式

第八章 二次型二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题这一理论在数理统计物理力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题.§ 二次型及其矩阵表示在解析几何中我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类以平面二次曲线为例一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出：

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第五讲 二次型标准形规范形化简与定性判别1.二次型的矩阵形式和矩阵的合同2.二次型标准形化简（对称变换法配方法正交变换法）3.二次型规范形化简（开方法）4.实二次型定性判别（惯性指数法特征值法顺序主子式法定义法）1 二次型的矩阵形式和矩阵的合同二次型的概念定义1 含有个变量的二次齐次函数 称为元二次型（其中称为平方项称为混乘项）．二次型的矩阵形式

第五章 特征问题与二次型 基本内容 .1 特征值与特征向量的定义 设 A是一个 n阶的方阵若对数 l存在非零 n维向量 x使 Ax= l x成立则称 l是A的特征值x是 A的属于 l的特征向量 注 1 特征值问题是对于方阵而言的 注 2 特征向量必须是非零向量 .2 特征值与特征向量的求法 (1) 若 A=n n ija×) ( 为具体矩阵(即ija 具体给出)求解步骤为： 第一步：求出方程

1 第五章 二次 型 教 学目 标及基 本要 求： 通过本章教学使学生 熟练掌握二次型的矩阵表示二次型的标准形 惯性定理等 熟练掌握实二次型的正定性 （半正定性 负定性半负定性）的定义及判别法掌握复二次型与实二次型的 规范形 教 学重 点： 化二 次型为 标准形 教 学难 点 ：正定 二次型 的等价条件 §1 二次型及其矩阵表 示 1. 二次型与线 性替换 定义 1 一 个

增加

第22 卷 第8 期V o l .2 2 N o .8控 制 与 决 策C o n t r o l a n d D e c i s i o n 2007 年8 月 Au g . 2007 : 2 006 04 16 : 2 006 11 2 1. : (19 63 ) . : 1001 09 2 0(2007)08 09 43 03 王 进 华( 350008) : 二 次 型 最 优

向量的内积与模　两个向量的夹角与距离两个向量的距离与命题2命题4

称为二次型.称为二次型的标准形（或法式）．方阵合同的性质：2．求特征向量　　2.　若二次型中不含有平方项但是 则先作可逆线性变换解定义： 规范形中的 k 称为二次型 （或对称矩阵A）的正惯性指数称 r-k 为二次型 （或对称矩阵A）的负惯性指数

例1再配方得