例 4已知函数在点处连续求的值.解因为点处连续则即完

1.求极限：完练习2.在某个过程中若有极限无极限那么是否有极限 为什么

求第一类函数的极限例 讨论下列函数当时的极限：(1)(2)(3)分析：先作出函数的图像根据函数极限的定义观察分析函数值的变化趋势来讨论所给函数的极限．解：作出所给各函数的图像由图像可知：(1)不存在不存在(2)(3)不存在．说明：函数当时的极限与数列当时的极限不同前者包括当时的极限当时的极限只有时的极限才存在．由于容易错误地认为．事实上不存在所以的极不存在．求函数的左右极限例 讨论下列函

例9解求极限当时因此当时由夹逼定理可得当时有由夹逼定理可得从而完

QuestionSuppose exists find the limit: (1) (2) Sol. (1) (2)(1) Suppose exists and t

例 9计算解时与的极限均不存在要先用三角公式变形：但不能认为它们差的极限也不存在例 9解与的极限均不存在要先用三角公式变形：但不能认为它们差的极限也不存在计算时例 9解与的极限均不存在要先用三角公式变形：但不能认为它们差的极限也不存在计算时最后这一步用了 有界量与无穷小的乘积为无完穷小 的结论.

等价无穷小替换定理证完存在则设是同一过程中的无穷小且注:这个定理表明在求两个无穷小之比的极限时分子及分母都可以用等价无穷小替换.因此如果无穷小的替换运用得当则可化简极限的计算.

例7求解本题考虑无穷多个无穷小之和.先变形再求极限完

1.计算的近似值使其误差不超过2.利用幂级数展开式求极限3.求常数项级数的和 .练习完

例27解求极限令则当时又故完

例 3求解又由无穷小与无穷大的关系得商的法则不能用.例 4求解时分子和分母的极限都是零先约去不为零的无穷小因子后再求极限.消去零因子法完

《高等数学二》复习教程第一讲 函数连续与极限一理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质(单调有界奇偶周期)几类常见函数(复合分段反隐初等函数)2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续(左右连续)与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值有界介值)二题型与解法A.极限的求法(1)用定义求(2)代入法(对连续函数可用因式分解

例 9计算解时与的极限均不存在要先用三角公式变形：但不能认为它们差的极限也不存在例 9解与的极限均不存在要先用三角公式变形：但不能认为它们差的极限也不存在计算时例 9解与的极限均不存在要先用三角公式变形：但不能认为它们差的极限也不存在计算时最后这一步用了 有界量与无穷小的乘积为无完穷小 的结论.

极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一极限是《高等数学》的重要组成部分求极限方法众多非常灵活给函授学员的学习带来较大困难而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习下面先对极限概念和一些结果进行总结然后通过例题给出求极限的各种方法以便学员更好地掌握这部分知识一极限定义运算法则和一些结果1．定义：(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材这里不一一叙述)说明：

1.解完设函数试问函数在处的左右极限是否存在 当时的极限是否存在 左极限存在 .右极限存在 .不存在 .

例 10计算下列极限：(1)(2)解(1)由于而是有界量由有界量与无穷小之积知为无穷小例 10计算下列极限：(2)解例 10计算下列极限：(2)解(2)因为又从而即为有界量所以完

例 10计算下列极限：(1)(2)解(1)由于而是有界量由有界量与无穷小之积知为无穷小例 10计算下列极限：(2)解例 10计算下列极限：(2)解(2)因为又从而即为有界量所以完

分段函数的极限和连续性例 设(1)求在点处的左右极限函数在点处是否有极限(2)函数在点处是否连续 (3)确定函数的连续区间．分析：对于函数在给定点处的连续性关键是判断函数当时的极限是否等于函数在某一区间上任一点处都连续则在该区间上连续．解：(1)∴函数在点处有极限．(2)函数在点处不连续．(3)函数的连续区间是(01)(12)．说明：不能错误地认为存在则在处就连续．求分段函数在分界点的左

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及参考答案一选择题：18小题每小题4分共32分(1)极限( C)A1 B C D【解析与点评】方法一方法二考点：第二个重要极限初等函数运算复合函数极限运算法则极限运算无穷小量替换 (2)设函数由方程确定其中为可微函数且则( B)A B C D【解析与点评】 等式两边求全微分得：即 所以有(3)设是正整数

夹逼准则准则Ⅰ如果数列及满足下列条件:(1)(2)那么数列的极限存在且证当使得时恒有当时恒有取则当时即上述两式同时成立.夹逼准则即夹逼准则即恒有时当即成立如果当或时有(1)(2)那么存在且等于注:利用夹逼准则求极限关键是构造出与并且与的极限相同且容易求得.完准则I￠