2.任何两个无穷小量都可以比较吗解不能 .当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时和不能比较 .完例如

例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)(2)(3)解(1)因为所以时是无穷小量又因为所以是比较高阶的无穷小量.例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)(2)(3)解(2)因为所以当时是无穷小量又所以是关于的同阶无穷小量.例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)(2)(3)解(3)由知当时是无穷小量但是不存在.所以与不能比较.完

例 2解所以求因为而当 时是无穷小量是有界量完

2.(1) 设时是有界量是无穷大量证明：是无穷大量 .(2) 设时是一个正的常数)是无穷大量 .证明：是无穷大量 .证(1) 因为当时是有界量是无穷小量故是无穷小量 .又当时是无穷小量与有界量之积 .2.(1) 设时是有界量是无穷大量证明：是无穷大量 .(2) 设时是一个正的常数)是无穷大量 .证明：是无穷大量 .证当时是无穷小量与有界量之积 .2.(1) 设时是有界量是无穷大量证明：是

例 1证根据定义证明：当　　　时为无穷小 .要使只须取时则当　　　　　　恒有证毕 .完

例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)(2)(3)解(1)因为所以时是无穷小量又因为所以是比较高阶的无穷小量.例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)(2)(3)解例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)(2)(3)解(2)因为所以当时是无穷小量又所以是关于的同阶无穷小量.例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)(2)(3)解例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)

2.任何两个无穷小量都可以比较吗解不能 .例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时和不能比较 .完

例 10计算下列极限：(1)(2)解(1)由于而是有界量由有界量与无穷小之积知为无穷小例 10计算下列极限：(2)解例 10计算下列极限：(2)解(2)因为又从而即为有界量所以完

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第三节 无穷小量与无穷大量高等数学 01-03-01一无穷小量二无穷小量的阶三无穷大量高等数学

例 10计算下列极限：(1)(2)解(1)由于而是有界量由有界量与无穷小之积知为无穷小例 10计算下列极限：(2)解例 10计算下列极限：(2)解(2)因为又从而即为有界量所以完

2.任何两个无穷小量都可以比较吗解不能 .例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时和不能比较 .完练习解答

例 10计算下列极限：(1)(2)解(1)由于而是有界量由有界量与无穷小之积知为无穷小例 10计算下列极限：(2)解例 10计算下列极限：(2)解(2)因为又从而即为有界量所以完

例 2解所以求因为而当 时是无穷小量是有界量完

例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)(2)(3)解(1)因为所以时是无穷小量又因为所以是比较高阶的无穷小量.例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)(2)(3)解例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)(2)(3)解(2)因为所以当时是无穷小量又所以是关于的同阶无穷小量.例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)(2)(3)解例 3当时将下列各量与无穷小量进行比较：(1)

一般 无穷小量的商有下列几种情形.第六节　无穷小量的比较则称?(x)和?(x)是同阶无穷小量记作 ?(x)= O(?(x))则称? (x)是?(x)的k阶无穷小量.则称?(x)和?(x)是等价无穷小量记作 ?(x) ?(x)显然 若?(x) ?(x) 则? (x)和?(x)是同阶无穷小量 但反之不对.比如(i)(ii)(iii)n100.10.010.20.1051000.010.00010.

例 1证根据定义证明：当　　　时为无穷小 .要使只须取时则当　　　　　　恒有证毕 .完

例 2解所以求因为而当 时是无穷小量是有界量完

返回后页前页二无穷小量阶的比较§5 无穷大量与无穷小量 由于　　　　　 等同于 因分析. 相同的. 所以有人把 数学分析 也称为 无穷小此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是四渐近线三无穷大量一无穷小量返回一无穷小量定义1则称 f 为显然无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷例如:对于无穷小量与有界量有如下关

例 1证根据定义证明：当　　　时为无穷小 .要使只须取时则当　　　　　　恒有证毕 .完

3.2 两个重要的极限一第一个重要极限二第二个重要极限三应用于是得到第一个重要极限： 例1: 求下列极限2第二个重要极限推广形式：另外一种形式：例: 利用第二个重要极限求下列极限则：3.3 无穷小量的阶1定义2常用的等价无穷小3应用例5: 求下列极限练习：求下列极限