第二类曲线积分的计算设有向曲线弧((记为的参数方程为其中在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数.当参数单调地由变到时点从的起点沿运动到终点如果在有向曲线弧上有定义且连续则如果曲线的方程为起点为终点为则第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算如果曲线的方程为起点为终点为则公式(1)可推广到空间曲线由参数方程给出的情形此时有其中下限对应的起点上限对应的终点.完
第二类曲线积分的计算设有向曲线弧((记为的参数方程为其中在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数.当参数单调地由变到时点从的起点沿运动到终点如果在有向曲线弧上有定义且连续则如果曲线的方程为起点为终点为则第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算如果曲线的方程为起点为终点为则公式(1)可推广到空间曲线由参数方程给出的情形此时有其中下限对应的起点上限对应的终点.完
第二类曲线积分的计算间上具有一阶连续导数连续,则则第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算则此时有完
比较判别法的极限形式这两个级数有相同的敛散性证定理2¢设均为正项级数与且当时当时若发散则发散.若收敛则收敛.当时对于存在正数当时有由比较判别法的极限形式当时有比较判别法的极限形式当时有即从而所以 由比较判别法知与有相同的敛散性.当时取则存在正数当时有得即比较判别法的极限形式时有得即比较判别法的极限形式时有得即由比较判别法即可得证.当时取则存在正数当时有即由比较判别法即可得证.注:当时可表述为:若
空间曲线积分与路径无关的条件 在前述利用格林公式推出了径无关的条件类似地我们利用斯托克斯公式可以推出空间曲线积分与路径无关的条件.定理2设空间区域是一维单连通域函数在内具有一阶连续偏导数则下列四个条件是等价的:(1)对于内任一分段光滑的封闭曲线有平面曲线积分与路空间曲线积分与路径无关的条件 空间曲线积分与路径无关的条件 与路径无关仅与起点终点有关(3)是内某一函数的全微分即(4)在内处处成(2)对
第二类曲线积分的概念定义设为面内从点到点的一条有向光滑曲线弧在上每一点处作曲线的单位切向量分别是与轴轴正向的夹角)其方向与指定的曲线方向一致又其中在上有界.则函数在曲线的第一类曲线积分设第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的概念称为函数沿有向曲线的第二类曲线积分.记称其为曲线的有向曲线元是一个向量该向量在二个坐标轴上的投影分别为即其中为锐角时取正号为钝角时取负号为直角时等于零.因此它第二类曲线积分的
第二类曲线积分的性质根据第二类曲线积分的定义可以推出第二类曲线积分的一些性质例如第二类曲线积分也满足与定积分类似的线性运算性质等下面仅列出两条常用的性质.性质1设是有向曲线弧是与方向相反的有向曲线弧则即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.性质2如设由和两段光滑曲线组成则完
第二类曲面积分的计算先考察积分的计算问题其它情形依此类推.设光滑曲面多交于一点它在面上的投影区域为则由有与平行于轴的直线至第二类曲面积分的计算第二类曲面积分的计算上式右端取号或号要根据是锐角还是钝角而定.当时有同理如果曲面由给出则有第二类曲面积分的计算第二类曲面积分的计算如果曲面由给出则有当时有注:积分曲面更复杂的情形可分片计算之.完当时有
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第二类曲线积分的性质根据第二类曲线积分的定义可以推出第二类曲线积分的一些性质例如第二类曲线积分也满足与定积分类似的线性运算性质等下面仅列出两条常用的性质.性质1设是有向曲线弧是与方向相反的有向曲线弧则即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.性质2如设由和两段光滑曲线组成则完
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