第五章方阵的特征值、特征向量与相似化简第一节数域多项式的根一、数域定义11:设F是一个数集,其中至少包含两个不同的数。如果F中任意两个数的和、差、积、商(当除数不为0时)仍是F中的数,则称F为一个数域。注:任何数域F至少包含0和1如果集合F中任意两个元素做某种运算其结果仍在F中,我们就说F对这种运算封闭。全体有理数的集合------有理数域,记为Q;全体实数的集合------实数域,记为R;全体复
第五节矩阵的初等变换引例矩阵的初等变换初等矩阵引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组分析:用消元法解下列方程组的过程.解用“回代”的方法求出解:于是解得小结:1.上述解方程组的方法称为消元法.2.始终把方程组看作一个整体变形,用到如下三种变换(3)交换方程次序;(2)用一个数k去乘某个方程后加到另一个方程上;(1)以不等于0的数去乘某个方程;3.上述三种变换都是可逆的. 由于三种变换都是可逆的
§52方阵的特征值与特征向量 工程技术中的一些问题? 如振动问题和稳定性问题? 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题? 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题? 也都要用到特征值的理论? 称为A的特征矩阵。特征值的性质:设n阶矩阵A?(aij)的特征值为?1? ?2? ? ? ?? ?n? 则定理22:?1??2? ? ? ? ??n?a11?a22? ? ? ? ?ann? 定理23
§53方阵相似于对角矩阵的条件 相似矩阵及其性质方阵的相似对角化小结一、 相似矩阵及其性质1等价关系一、 相似矩阵及其性质证明:,则由矩阵秩的性质显然有证明:,则两端取行列式有又所以证明:,则两端取转置并记有所以证明:,则所以B可逆,又两端取逆有所以证明:,则对任意的正整数m及任意数k易证所以证明证明二、 方阵的相似对角化定理31n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条件是A存在n个线性无关的特征向量。
定义一、实向量内积与长度§54正交矩阵 称其为向量x,y的内积。说明内积的运算性质定义2 令向量的长度具有下述性质:解1 正交的概念2 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组.二、 正交向量组例已知三维向量空间中两个向量判断其是否正交。证明3 正交向量组的性质4 单位正交向量组(单位正交组,标准正交组,规范正交组)正交向量组的每个向量都是单位向量,称其为单位正
第一章矩阵的运算与初等变换§1矩阵与向量的概念§2矩阵的运算§3分块矩阵及矩阵的分块运算§4几种特殊矩阵§5矩阵的初等变换(1) 线性方程组的解取决于11矩阵的概念§1矩阵与向量的概念(2)某航空在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B发站到站定义11矩阵的定义由 个数排成的行列的数表记作简记为元素全是实数的矩
第二章方阵的行列式§1n阶行列式的定义§2方阵行列式的性质§3展开定理与行列式的计算第一节 n阶行列式的定义11n阶行列式的引出12全排列及其逆序数13n阶行列式的定义用消元法解二元线性方程组11n阶行列式的引出方程组的解为由方程组的四个系数确定为了便于记忆,引进二阶行列式其结果依“对角线法则”计算:主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式则二元线性方程组的解为注
第三章 可逆矩阵§1可逆矩阵的定义与性质 11 可逆矩阵的概念12 可逆矩阵的性质11可逆矩阵的概念在数的运算中,有在矩阵的运算中,的1,使得例设可逆矩阵又称非奇异矩阵,不可逆方阵又称奇异矩阵则有可得12可逆矩阵的性质证明:性质2 证明证明思考题思考题解答答
第六章 二次型§1 二次型的矩阵表示一、n元二次型1、定义:设P为数域,称为数域P上的一个n元二次型.①注意2) 式① 也可写成1) 约定①中aij=aji,ij ,由 xixj=xjxi,有②2、二次型的矩阵表示于是有注意:2)二次型与它的矩阵相互唯一确定,即正因为如此,讨论二次型时矩阵是一个有力的工具例1 1)实数域R上的2元二次型 3)复数域C上的4元二次型它们的矩阵分别是:三、矩阵的合同1
§3分块矩阵及矩阵的分块运算将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵? 每一个小矩阵称为A的子块? 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。将矩阵分割成分块矩阵的方法称为矩阵的分块法。 注:分块方法有很多,最常用的是按行分块或按列分块。矩阵的分块运算例1设解则又于是例2其中其中小结 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法(1) 加法(2) 数乘(3) 乘法 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(4) 转置
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