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  第三章 可逆矩阵§2方阵可逆的充要条件与逆矩阵计算 定义21定理21证明：同理可得定理22矩阵可逆的充要条件是，且　　　　　　证明：按逆矩阵的定义得解定理23 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是存在n阶矩阵B，使AB=E(或BA=E)，并且当A可逆时，证明若AB=E，推论21则A,B都可逆且互为逆。解：定理24 方阵A可逆的充分必要条件是A可以经过有限次初等变换化为单位矩阵。定理25 方阵A可逆的充分

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  §3 展开定理与行列式的计算余子式与代数余子式行列式按行（列）展开法则Laplace定理小结例如一、余子式与代数余子式定义31：例如二、行列式按行（列）展开法则即有又从而再证一般情形,此时得得故得定理31行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即证定理32 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证同理关于代数余子式的重要性质 证用数

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  第三节矩阵的秩一 矩阵秩的概念二矩阵秩的求法三小结思考题一、矩阵秩的概念矩阵的秩例如 (1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0? 则R(A)?s? 若A中所有t阶子式全为0? 则R(A)?t? 几个简单结论 (2)若A为m?n矩阵? 则0?R(A)?min{m? n}? 例1解例2解问题：经过变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中

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  §2方阵行列式的性质一、行列式的性质二、举例应用性质1　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和则D等于下列两个行列式之和：例如一、行列式的性质性质2方阵与它的转置矩阵的行列式相等记一、行列式的性质则证明按定义又因为行列式D可表示为故证毕推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质4互换行列式的两行（列）,行列式变号证明设行列式于是则有故证毕例如推论如果行列式有两行（

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  §53方阵相似于对角矩阵的条件 相似矩阵及其性质方阵的相似对角化小结一、 相似矩阵及其性质1等价关系一、 相似矩阵及其性质证明：，则由矩阵秩的性质显然有证明：，则两端取行列式有又所以证明：，则两端取转置并记有所以证明：，则所以B可逆，又两端取逆有所以证明：，则对任意的正整数m及任意数k易证所以证明证明二、 方阵的相似对角化定理31n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条件是A存在n个线性无关的特征向量。

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  第三章 可逆矩阵§1可逆矩阵的定义与性质 11 可逆矩阵的概念12 可逆矩阵的性质11可逆矩阵的概念在数的运算中，有在矩阵的运算中，的1，使得例设可逆矩阵又称非奇异矩阵,不可逆方阵又称奇异矩阵则有可得12可逆矩阵的性质证明:性质2 证明证明思考题思考题解答答

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  §3分块矩阵及矩阵的分块运算将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵? 每一个小矩阵称为A的子块? 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。将矩阵分割成分块矩阵的方法称为矩阵的分块法。 注：分块方法有很多，最常用的是按行分块或按列分块。矩阵的分块运算例1设解则又于是例2其中其中小结 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法(1) 加法(2) 数乘(3) 乘法 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(4) 转置

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  §3向量组的秩矩阵的行秩与列秩定义31一、向量组的秩注：1、向量组线性无关的充分必要条件是向量组的秩等于该组向量的个数；向量组线性相关的充分必要条件是向量组的秩小于该组向量的个数。定理31：向量组与它的任意一个极大无关组等价。推论31：一个向量组的任意两个极大无关组等价。推论32：一个向量组的秩是唯一确定的。定理32：设向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则向量组Ⅰ的秩不大于向量组Ⅱ的秩。定理33：等价

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  第二章方阵的行列式§1n阶行列式的定义§2方阵行列式的性质§3展开定理与行列式的计算第一节 n阶行列式的定义11n阶行列式的引出12全排列及其逆序数13n阶行列式的定义用消元法解二元线性方程组11n阶行列式的引出方程组的解为由方程组的四个系数确定为了便于记忆，引进二阶行列式其结果依“对角线法则”计算：主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式则二元线性方程组的解为注

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  §52方阵的特征值与特征向量 工程技术中的一些问题? 如振动问题和稳定性问题? 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题? 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题? 也都要用到特征值的理论? 称为A的特征矩阵。特征值的性质：设n阶矩阵A?(aij)的特征值为?1? ?2? ? ? ?? ?n? 则定理22：?1??2? ? ? ? ??n?a11?a22? ? ? ? ?ann? 定理23