第4节 多元函数的Taylor公式与极值一二元函数的Taylor公式记号:定理1定义1设 f (M) 在点 M0 的某邻域 N上满足: 定理2(极值的必要条件)设可微函数 z = f (x, y) 在点 M0 (x0 ,y0) 处有极值, 则必有 二多元函数的极值1说明可微函数的极值点必为驻点;反之,驻点不一 定是极值点。驻点与一阶偏导数不存在的点只是可 能的极值点。如:注1定理 3(二元函数极值
1. 微分的定义而根据实际测量的面积为其中f ′(x0)与△x无关根据微分的定义f(x)在x0处可微且 即复合函数y即可以对中间变量u微分也可以对自变量x微分这一性质称为微分的不变性例6 设参数方程解 对所给方程两边微分有便于计算根据公式《1》有
§84幂级数[学习重点]幂级数的收敛区域[学习难点]函数展开成幂级数[学习方法]充分利用正项级数和交错级数的收敛性,判断幂级数的收敛区域;充分利用简单的已知函数的幂级数,通过逐项求导或逐项积分,求比较难的函数的幂级数。一、函数项级数1、函数项级数的定义设un(x)(n=0,1,…)是定义在某个实数集合D上的函数序列,则称为定义在D上的函数项无穷级数,简称函数项级数。2、函数项级数的收敛点对于D上定
第3节微分法的几何应用一 空间曲线的切线与法平面:1 切线: 设曲线方程为: 法平面:过M0且与曲线在M0处的切线垂直的平面,切线的方向向量为其法向量,故M0处的法平面方程为:注:可作为切线的方向向量, 如2若曲线方程为 y=y(x),z=z(x),则可把 x 看成参 数而 得方向向量 解:把 y, z 作为 x 的函数,两边对 x求导,得二 空间曲面的切平面与法线: 例 4设F(u,v)可微,证
第2节多元函数微分法1概念:一偏导数定义1例1例2例3例4例5定义2例6才能保证全微分存在,且定理3(充分条件)由定义知,f 在M点可微。问在(0,0)处,f(x, y)的偏导数是否存在?偏导数是否连续?f(x, y)是否可微?解:注:定理3说明了偏导数连续是可微的充分条件,而例7则说明了偏导数连续并不是可微的必要条件。几个概念之间的关系见下图:例8三方向导数定义3定理4例9习题52(P248)作
第6节 复变函数的导数与解析函数一 复数域与复数的表示法二 复变函数复变函数 :例如:可以利用二元实函数的极限,连续等概念来定义复变函数的极限,连续。因此,复变函数具有与实函数类似的关于极限,连续的性质。或记为定义1三 复变函数的导数解例2可导必连续,连续不一定可导例3定义2由定义2可知:由定理2即得:例4解解解解例5三初等函数1 指数函数2 对数函数解例6思考题:3幂函数解例74三角函数四解析函数与调和函数解例8
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