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  第3节微分法的几何应用一 空间曲线的切线与法平面：1 切线： 设曲线方程为： 法平面：过M0且与曲线在M0处的切线垂直的平面，切线的方向向量为其法向量，故M0处的法平面方程为：注：可作为切线的方向向量, 如2若曲线方程为 y=y(x)，z=z(x),则可把 x 看成参 数而 得方向向量 解:把 y, z 作为 x 的函数，两边对 x求导,得二 空间曲面的切平面与法线： 例 4设F（u，v)可微，证

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  一．无穷区间反常积分判敛法定理1:(比较判别法)（2）利用反证法,由(1)即得。极限判别法：定理2：（极限判别法）例１ 判断下列反常积分的收敛性：注意比较法和极限法只有在被积函数非负的条件下才能用；定理例2二．无界函数的反常积分判敛法定理3（比较判别法）注：若a为无穷型间断点，结论类似成立， 但极限判别法中的极限式应改为定理4(极限判别法)例３ 判别反常积分的敛散性：后者为无穷限的反常积分，同上知

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  第4节 多元函数的Taylor公式与极值一二元函数的Taylor公式记号：定理1定义1设 f (M) 在点 M0 的某邻域 N上满足： 定理2（极值的必要条件）设可微函数 z = f (x, y) 在点 M0 (x0 ,y0) 处有极值， 则必有 二多元函数的极值1说明可微函数的极值点必为驻点；反之，驻点不一 定是极值点。驻点与一阶偏导数不存在的点只是可 能的极值点。如：注1定理 3（二元函数极值

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  第2节多元函数微分法1概念:一偏导数定义1例1例2例3例4例5定义2例6才能保证全微分存在，且定理3（充分条件）由定义知，f 在M点可微。问在(0,0)处，f(x, y)的偏导数是否存在？偏导数是否连续？f(x, y)是否可微？解：注：定理3说明了偏导数连续是可微的充分条件，而例7则说明了偏导数连续并不是可微的必要条件。几个概念之间的关系见下图：例8三方向导数定义3定理4例9习题52(P248)作

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  第6节 复变函数的导数与解析函数一 复数域与复数的表示法二 复变函数复变函数 ：例如：可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变函数的极限，连续。因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限，连续的性质。或记为定义1三 复变函数的导数解例2可导必连续,连续不一定可导例3定义2由定义2可知：由定理2即得：例4解解解解例5三初等函数1 指数函数2 对数函数解例6思考题：3幂函数解例74三角函数四解析函数与调和函数解例8

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  一、不定积分的换元法定理1 1该定理将积分基本公式大大扩充了，例如：注：1第一类换元法（凑微分法）第3节 换元积分法2很多情况下要“凑微分”，例如：例1求下列积分：例2计算下列积分:例3计算下列积分:有理函数定理2 2第二类换元法例 4解原式例 6例 7例 8例 9万能（半角）变换例 10例 11分解：例 12可化为有理函数的积分：三角函数有理式：简单无理函数：等这些积分“积不出来”。结论：对初等

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