单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级§1.4 特征函数母函数 一特征函数的定义及例子 定义 设XY是实随机变量复随机变量Z=Xi Y的数学期望定义为特别X是实随机变量注1) costx和sintx 均为有界函数 故总存在.2) 是实变量t 的函数. 定义 设X是定义在(ΩF P )上的随机变量称为X 的特征函数.是eitx 关于X的分布函数的富里
三 逆转公式与唯一性定理 数字特征也只反映了概率分布的某些侧面下面介绍的特征函数即能完全决定分布函数又具有良好的分析性质若 是相互独立的则 显然特征函数只与分布函数有关因此又称某一分布函数的特征函数一些重要分布的特征函数 这个性质称为非负定性是特征函数的最本质的性质之一 应当着重指出正是由于性质4才使特征函数在概率论中占有重要地位解
单击此处编辑母版文本样式第二级2017324??单击此处编辑母版标题样式《随机信号分析》教学组4SECTION特征函数定义特征函数离散型连续型特征函数特征函数例6.解: 特征函数的性质123特征函数的性质提供了一种求独立随机变量和的分布新方法特征函数与概率密度之间的关系特征函数与概率密度之间的关系例7. 解:特征函数与概率密度之间的关系特征函数与各阶矩之间的关系特征函数的作用简化各阶矩的运算简化一
【例】设全集 E{a b c}它有 8 个子集 对于子集 {a} 有 Ψ{a}(a)1 Ψ{a}(b)0 Ψ{a}(c)0 于是子集 {a} 的特征函数为 Ψ{a}{<a 1> <b 0> <c 0>} 对于子集 {a b}有 Ψ{ab}(a)1 Ψ{ab}(b)1 Ψ{ab}(c
则称 服从二点分布.也叫伯努里分布或0-1分布射击9次最可能中 泊松分布关于泊松分布的概率计算有现成的分布表(见附表1)可查由于n很大p很小故可用泊松分布近似计算
§3 特征函数?一定义 l 22 二性质 l 33 三逆转公式与唯一性定理 l 44 四分布函数的可加性 l 55 五多元特征函数?一般说来数字特征不能完全确定随机变量的分布. 本节将要介绍特征函数既能完全决定分布函数又具有良好的性质是研究随机变量的分布的有力的工具.?一定义定义1 设ξη为实值随机变量称ζ= ξ iη为复随机变量这里-1称为ζ的数学期望.复随机
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3-----单位电阻上的电压6自协方差函数是不相关的充分条件例 随机相位信号?x4(t)2正交半正定性:对于任意N维非随机向量F
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单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第二节 随机变量的特征函数一 特征函数的定义 随机变量X的特征函数就是由X组成的一个新的随机变量ej的数学期望即 离散随机变量和连续随机变量的特征函数分别表示为例:设随机变量X服从标准正态分布N(01) 求X的特征函数二 特征函数的性质性质1: 性质2:若Y=aXba和b为常数Y的特征函
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