单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级隐函数的求导法则一一个方程的情形解令则解令则解令则思路:解令则整理得整理得整理得二方程组的情形1对于方程组 怎样求偏导数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数当 x 给定以后相当于解含关于 y z 的方程组如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y z 故方程
令令1对于方程组 则①公式法则
一一个方程的情形隐函数的求导公式解令则解令则解两边同时对x求导y是x的函数:解令则思路:解令则整理得整理得整理得二方程组的情形解1直接代入公式解2运用公式推导的方法将所给方程的两边对 求导并移项将所给方程的两边对 求导用同样方法得(分以下几种情况)隐函数的求导法则三小结思考题思考题解答练 习 题练习题答案
复习:隐函数的求导法则一F(xy)=0的导数y=f(x)x注:关于隐函数求二阶导数①公式法②直接法y=f(x)xP206 例 注:关于隐函数求二阶偏导数①公式法②直接法解:例4:同理: 偏导数的应用------微分法在几何上的应用一空间曲线的切线和法平面定义设 M 是空间曲线 L 上的一个定点 M是 L 上的一个动点 当M 沿曲线 L 趋于M 时 割线MM 的极限位置
两边对 x 求偏导整理得定理证明略仅推导偏导数公式如下隐函数的求导法则
1、填空题已知,则。已知,则。已知,则,。已知,则。已知,其中具有一阶连续偏导数,则。分析:2、设,其中具有二阶连续的偏导数,求。解:两边关于求偏导得两边再关于求偏导得3、求由方程组所确定的的导数。解:方程组两边微分得 (1)代入(2)得4、设函数,其中为由方程所确定的函数,求和。解: 因为,所以5、设函数具有二阶连续的偏导数,而满足方程,求。解:由方程可得解微分方程,此为二阶线性常系数微分方程,特征方程为,解的特征根,所以
E-mail: 所以它满足条件 同时还有 令令则方程组解之得 由于J≠0故可以解得:解
1一一个方程的情形隐函数存在定理1在点或简写:(1)(3)7具有连续偏导数隐函数存在定理2将恒等式因为f有连续偏导.导函数仍是复合函数.例515当系数行列式不为零时求的方法同前面求设方程组u与v都视为xy的二元函数原方程组两边分别对对 x求偏导:用全微分形式不变性解用公式:30所以32是因变量34思考
两边对 x 求偏导于是确定函数方程组有唯一解解方程组得解 2:
引例:已知 确定 求并有连续导数就可确定可导函数 且导的隐函数 令整理得求隐函数的二阶偏导数常用方法有两种:解2
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