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  单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广 但是只定义了线性运算 而三维空间中有向量夹角和长度的概念它们构成了三维空间丰富的内容.§3.5 欧氏空间我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中. 在解析几何中我们曾定义了向量的内积(数量积)建立标准的直角坐标系后 可用向量的坐标来计算内积设则(标准)内积一内积的定义

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  2.定理 紧致度量空间是有界的. 3.定理 设A是n维欧氏空间 中的一个子集．则A是一个紧致子集当且仅当A是一个有界闭集． 因此A作为紧致空间　　　　中的一个闭子集必定是紧致的． 设m和M分别为集合f（X）的下上确界则mM ∈f(X)．

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  第卷$ 第 ( 期

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  第1节 n维欧氏空间Rn中的点集的初步知识n维欧氏空间n维欧氏空间中点列的极限与完备性n维欧氏空间的各类点集：开集、闭集、区域2013年3月29日1南京航空航天大学 理学院 数学系本节将研究一种特殊的集合n维欧氏空间中的点集。向量空间往往成为数学研究的载体和对象。分析学科所关心的空间的结构包括度量、范数、开集、闭集等。本节的主要内容为n维欧氏空间中的各类点集，这将为我们研究新的积分奠定基础。21

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  时注：有的书上对内积用(? ? )表示定义则因此该定积分满足内积定义的4个条件因而它也是V中某一向量若对于若? ? 线性无关则对于任意k ?R 都有下面证等号成立的充要条件是? ? 线性相关或者例4在欧氏空间Rn中向量组则小 结(2) 由V是n维欧氏空间??0知在V中必可找到n?1个向量?1 ?2 …?n?1使? ?1 ?2 …?n?1为线性无关向量组.因此只能 dim{M}=n?1.

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  § Rn中的度量与正交变换 关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算 满足如下8条基本性质:设V是一个向量空间 U?V 若U也构成一个向量空间 则称U为V是一个子空间.由定义 对???V ?唯一的一组有序实数 k1 k2 … kr使得? = k1?1k2?2…kr?r . ??1 ?1 1 1 ?1 1 事实上 对于这个例子 除了A3 A4以外 A1 A2 A3 A4中任意两个向量都构成L(A1 A