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  比较判别法定理2且则有证比较判别法比较判别法从而收敛假如不然,收敛,矛盾比较判别法矛盾比较判别法矛盾注:去掉级数前面有限项不改变数的收敛性,的条件可减弱为比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法 对于给定的正项级数,其收敛性, 以及可知定理数与其进行比较,如果要用比较判别法来判别则首先要通过观察,找到另一个已知级并应用定理2进行判断,只有知道比较判别法其收敛性, 则首先要通过观察,找到另一个已

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  可分离变量的微分方程设有一阶微分方程如果其右端函数能分解成即有则称方程为可分离变量的微分方程其中都是连续函数.根据这种方程的特点我们可通过积分来求解.设用除方程的两端用乘以方程的两端以使得未知函数与自变量置于等号的两边得可分离变量的微分方程用乘以方程的两端以使得未知函数与自变量置于等号的两边得可分离变量的微分方程用乘以方程的两端以使得未知函数与自变量置于等号的两边得两边积分得如果则易知也是方程的解

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  逻辑斯谛方程逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚载下去的时候长得比较慢渐渐地小树长高了而且长得越来越快几年不见绿荫底下已经可乘凉了但长到某一高度后它的生长速度趋于稳定然后再慢慢降下来.这一现象很具有普遍性.现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比则显然不符合两头尤其是后期的生长情形因为树不逻辑斯谛方程则显然

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  型(1)注意到多项式与指数函数乘积的导数仍是同类型的函可推测方程(1)具有如下形式的特解:为某个多项式)(将上式代入方程(1)中化简整理得数(2)对应特征方程为(1)(3)1.则可设若不是特征方程(3)的根型1.则可设若不是特征方程(3)的根型1.则可设若不是特征方程(3)的根相应的特解形式2.则可设相应的特解形式是特征方程(3)的单根若若是特征方程(3)的重根3.则可设综上所述可见方程(1)具有

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  推论 1如果在区间上则证又故性质5则如果在区间上性质5则如果在区间上性质5则证又故推论1上如果在区间则如果在区间上证由题设知证由题设知证由题设知即推论得证.推论2证即注意:在区间上的可积性是显然的.完

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  正项级数定义若级数 中各项均有则称这种级数为正项级数.易见正项级数的部分和数列 为单调增加数列即根据数列的单调有界准则收敛的充要条件是它有界从而得到下述重要定理:定理正项级数 收敛的充分必要条件是其部正项级数定理正项级数 收敛的充分必要条件是其部正项级数定理正项级数 收敛的充分必要条件是其部分和数列

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  根值判别法(柯西判别法)证当 有限时时有定理4设是正项级数当时且或当时级数收敛当时包括级数发散本判别法失效.则对任意的存在当即当时取使根值判别法(柯西判别法)当时取使根值判别法(柯西判别法)当时取使则当时有即所以由比较判别法知 因为级数收敛 收敛.取使当时或则当时有即级数级数的一般项不趋于零即当时根据级数收敛的必要条件知发散.根值判别法(柯西判别法)根据级数收敛的必要条件知发散.根值判别法

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  泰勒级数的概念由泰勒公式知如果函数在点 的某领域内有 阶导数则对于该领域内的任意一点有其中介于 与之间.定理 1设在区间 内存在任意阶泰勒级数的概念定理 1设在区间 内存在任意阶泰勒级数的概念定理 1设在区间 内存在任意阶的导数幂级数的收敛区间为则