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  傅里叶级数的复数形式设周期为的周期函数的傅里叶级数为其中代入欧拉公式傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式令得傅里叶级数的复数形式得傅里叶级数的复数形式得傅里叶级数的复数形式其中傅里叶系数的复数形式完

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  狄利克雷收敛定理本段我们要考虑另一个基本问题:函数在怎样的条件下它的傅里叶级数收敛到函数函数满足什么条件即就可以展开成傅里叶级数这个问题自十八世纪中叶提出以来当时欧洲的许多数学家都曾致力于它的解决直到1829年克雷才首次给出了这个问题对这一问题的研究极大地促进了数学分析的发展.这里我们不加证明地叙述收敛问题的一个充分条件.狄利狄利克雷关于傅里叶级数定理1(收敛定理狄利克雷充分条件)的一个严格的数学

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  一般周期函数的傅里叶级数上节中所讨论的函数都是但在很多实际问题中我们常常会遇到周期不是的周期函数本节我们要讨论这样一类周期函数的傅里叶级数的展开问题.实际上结果只需经过适当的变量替换的定理.根据上节的讨论就可以得到下面定理1设周期为的周期函数满足狄利克雷收敛定理的条件展开式为在区间上则它的傅里叶级数为周期的周期函数.以一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数其中如果函数为奇函数则如果函数为

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  比较判别法的极限形式这两个级数有相同的敛散性证定理2￠设均为正项级数与且当时当时若发散则发散.若收敛则收敛.当时对于存在正数当时有由比较判别法的极限形式当时有比较判别法的极限形式当时有即从而所以 由比较判别法知与有相同的敛散性.当时取则存在正数当时有得即比较判别法的极限形式时有得即比较判别法的极限形式时有得即由比较判别法即可得证.当时取则存在正数当时有即由比较判别法即可得证.注:当时可表述为:若

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  魏尔斯特拉斯判别法定理1如果函数项级数在区间上满足条件:(1)(2)正项级数收敛.则该函数项级数在区间上一致收敛.证因为正项级数收敛柯西准则知对任给定的存在自然数使当时对任意自然数有由常数项级数收敛的于是对一切都有魏尔斯特拉斯判别法于是对一切都有魏尔斯特拉斯判别法于是对一切都有令则由上式得项级数在区间上一致收敛.所以函数完

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  收敛半径的求法定理 2设幂级数的所有系数如果则当 时 当 时 证对绝对值级数应用比值判别法 有当 时 这幂级数的收敛半径这幂级数的收敛半径这幂级数的收敛半径收敛半径的求法收敛半径的求法若存在 题设级数绝对收敛 级数发散 故一般项不趋于零 时则当时当充分大时有且当级数发散. 即收敛半径收敛半径的求法故一般项不趋于零

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