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  正弦级数与余弦级数一般地一个函数的傅里叶级数既含有正弦项含有余弦项(例2)但是也有一些函数的傅里叶级数(例4)导致这种现象的原因与所给函数的奇偶性有关事实上根据在对称区间上奇偶函数的积分性质易得到下列结论:设是周期为的周期函数则(1)又或者只含有常数项和余弦项只含有正弦项(例1)当为奇函数时其傅里叶系数为正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数即奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数(2)当为偶函

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  正弦级数与余弦级数一般地,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,含有余弦项(例2),但是,也有一些函数的傅里叶级数(例4),导致这种现象的原因与所给函数的奇偶性有关,事实上,根据在对称区间上奇偶函数的积分性质,易得到下列结论:则(1)又或者只含有常数项和余弦项只含有正弦项(例1)其傅里叶系数为正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数即奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数(2)其傅里叶系数为即偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数完

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  利用傅氏展开式求数项级数的和如从例4知函数的傅里叶展开式为当时设利用傅氏展开式求数项级数的和设利用傅氏展开式求数项级数的和设因为所以完

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  幂级数的分析运算性质定理 3设幂级数 的收敛半径为则幂级数的和函数 在其收敛域 上连续幂级数的和函数 在其收敛域 上可积在 上有逐项积分公式并且逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛幂级数的分析运算性质且逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛幂级数的分析运算性质且逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛幂级数的和

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  欧拉公式当为实数时有推广到纯虚数情形:定义的意义如下(其中 为实数).即有(1)用替换得(2)欧拉公式用替换得(2)欧拉公式用替换得(2)(3)从而公式(1)-(3)统称为欧拉公式.在(1)式中令即得到著名的欧拉公式这个公式被认为是数学领域中最优美的结果之一很多人认为它具有不亚于神的力量因为它在一个简单的方程中基本常数把算术基本常数分析常数和复数联系在一起.几何完

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  定理6关于幂级数的和函数的连续性和逐项可积的结论由定理2和定理3定理5立即可得.对逐项可导的结论我们有如果幂级数的收敛半径为和函数在内可导且有逐项求导公式则其逐项求导后所得到的幂级数半径.证先证级数在内收敛.与原级数有相同的收敛证先证级数在内收敛.证先证级数在内收敛.在内任取使得记则由比值判别法知级数收敛于是故数列有界必有使得又级数收敛由比较判别法即得级数在内收敛由定理5级数在内的任意闭区上适合定

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