设曲面是光滑的有界把任意分成小块同时也表示第小块曲面的面积)在上任取一点作乘积并作和如果当各小块曲面的直径的最大值时这和式的极限存在定义第一类曲面积分的概念函数在上则称此极限值为在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分记为第一类曲面积分的概念分或对面积的曲面积分记为第一类曲面积分的概念分或对面积的曲面积分记为其中称为被积函数称为积分曲面.注:所谓光滑曲面是指曲面上每一点都有切平面且切平面的法向量随着曲

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级解:例4. 判断直线L与平面 的位置关系直线L的参数方程代入到平面 中整理为 当 时交点是当 时方程无解即线面平行.L与 有唯一的交点1§4.5 曲面与空间曲线一空间曲面的概念二旋转曲面三柱面四二次曲面五空间曲线2水桶

空间曲面的切平面与法线(续)设曲面的方程为令则有于是当函数的偏导数在点处连续时曲面在点处法向量为从而切平面方程为或法线方程为完

空间曲面的切平面与法线(续)设曲面的方程为令则有于是当函数的偏导数在点处连续时曲面在点处法向量为从而切平面方程为或法线方程为完

设曲面是光滑的有界把任意分成小块同时也表示第小块曲面的面积)在上任取一点作乘积并作和如果当各小块曲面的直径的最大值时这和式的极限存在定义第一类曲面积分的概念函数在上则称此极限值为在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分记为第一类曲面积分的概念分或对面积的曲面积分记为第一类曲面积分的概念分或对面积的曲面积分记为其中称为被积函数称为积分曲面.注:所谓光滑曲面是指曲面上每一点都有切平面且切平面的法向量随着曲

1142011??Surface curvaturesSurface curvaturesLines of curvatureSurface curvaturesGaussian = mincurvature x maxcurvatureGaussian = 0: developable surfaceGaussian curvature signsFirst Gaussian imageGa

探究1 曲面上的最短距离 在圆柱或圆锥等曲面上的两点间的曲线最短时往往把曲面问题转化为平面问题其主要方法是利用圆柱和圆锥的侧面展开图来解决此题在解决时要注意AB并不是底面圆的周长而是底面圆周长的一半.【例1】(2006广东课改中考10)如图1-4-1已知圆柱体底面圆的半径为高为2ABCD分别是两底面的直径ADBC是母线.若一只小虫从A点出发从侧面爬行到C点则小虫爬行的最短路线的长度是

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系重积分的应用曲面的面积重心转动惯量引力2007年8月1南京航空航天大学 理学院 数学系1曲面的面积 设 D 为可求面积的平面有界区域 在 D 上 具有连续的一阶偏导数现讨论由方程 所表示的曲面 S 的面积. (1) 对区域 D 作分割

向量则 cos线线面面 则sin线面投影圆锥面： 椭圆抛物面： 双曲抛物面： 单叶双曲面： 双叶双曲面： 抛物面一次方旋转曲面： 指曲线 绕Z轴旋转极限：无穷小的性质及无穷小的比较(x→0有xsinxtanx1-cosxx22In(1x) xex-1nx1x-1xn)函数间断点及其类型(第一类左右存在但不相等为跳跃间断点均存在且相等为可去间断点有一

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级目录 上页 下页 返回 结束 第五节一有向曲面及曲面元素的投影 二 第二型曲面积分的概念与性质 三第二型曲面积分的计算法四两类曲面积分的联系第二型曲面积分 一有向曲面及曲面元素的投影? 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 其方向用法向量指向方

例4证明:若为包围有界域的光滑曲面则导数其中的外法线方向的方向沿曲面函数为在上具有一阶和二阶连续偏导数符号称为拉普拉斯算子.这个公式称为格林第一公式.其中的外法线向量的方向余弦于是证因为是在点处其中证因为是在点处的外法线向量的方向余弦于是其中的外法线的方向余弦于是证因为是在点处将上式右端第二个积分移至左端即得所要证明的等完式.

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级奇异曲面高斯通量的讨论 物理一班 野仕伟1.非封闭曲面的通量计算—投影法 平方反比场E=A rr3 有一特殊性质即对两面元dS1 dS2若对场源O张有相同立体角dΩ则dS1dS2的通量相等 从而任意曲面S0对O张Ω的立体角投影到以场源为球心的单位球面成为S1则

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级截平面截交线截交线截交线：截平面 与平面立体 相交产生的交线 表面性性质： 共有性 封闭性(封闭的平面多边形)平面与曲面立体相交 曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形 1)判断： a.判断原立体 b.相交判断(

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 曲面立体相贯 立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线 相贯线是两曲面立体表面的共有线相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点 两曲面立体相贯相贯线一般是封闭的空间曲线 特殊情况下为平面曲线或直线相贯线性质图例 辅助平面法(三面共点法的思维) 常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面要使辅助平面与两