引言迄今为止我们先后学习了定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分等多种不同类型的积分.在学习过程中我们也注意到上述各类积分定义与性质的表述上相当类似那么是否可从上述积分概念中使得上述各类积分这个问题的答案是肯定的.由此要引入点函数积分的概念.抽象出一种统一的积分概念的表述在都是它的一种特殊情形呢为方便起见我们把一段直线和曲线一张有界平引言为方便起见我们把一段直线和曲线一张有界平引言为方便起见我们把

横向斜向横向求导积分()(-)分部积分的列表法对于需要多次分部积分的情形可继续向下排列 .利用分部积分列表法应注意 :分部积分的列表法对于需要多次分部积分的情形可继续向下排列 .利用分部积分列表法应注意 :分部积分的列表法对于需要多次分部积分的情形可继续向下排列 .利用分部积分列表法应注意 :求导积分()(-)()(-)(1) 右列的函数应是容易积分的(2) 左列的函数一般应是求导后逐渐简单的(3

例7计算三重积分及平面所围成的闭区域.其中为三个坐标面解截面故原式(1)(2)根据例1所确定的积分限有例7计算三重积分及平面所围成的闭区域.其中为三个坐标面解(2)根据例1所确定的积分限有例7计算三重积分及平面所围成的闭区域.其中为三个坐标面解(2)根据例1所确定的积分限有完

例4计算积分其中由曲所围成.面解区域介于曲面与平面之间将投影到平面得投影区域原式例4计算积分其中由曲所围成.面解将投影到平面得投影区域原式例4计算积分其中由曲所围成.面解将投影到平面得投影区域原式例4计算积分其中由曲所围成.面解将投影到平面得投影区域原式例4计算积分其中由曲所围成.面解将投影到平面得投影区域原式完

例13计算积分解不能用初等函数表示先改变积分次序.题设二次积分的积分限:可改写为例13计算积分解不能用初等函数表示先改变积分次序.可改写为例13计算积分解不能用初等函数表示先改变积分次序.可改写为完所以

例4写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式解利用极坐标变换易见直线方程故积分区域的积分限为的极坐标形式为例4写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式解故积分区域的积分限为例4写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式解故积分区域的积分限为所以完

例13计算积分解不能用初等函数表示先改变积分次序.题设二次积分的积分限:可改写为例13计算积分解不能用初等函数表示先改变积分次序.可改写为例13计算积分解不能用初等函数表示先改变积分次序.可改写为完所以

引言迄今为止我们先后学习了定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分等多种不同类型的积分.在学习过程中我们也注意到上述各类积分定义与性质的表述上相当类似那么是否可从上述积分概念中使得上述各类积分这个问题的答案是肯定的.由此要引入点函数积分的概念.抽象出一种统一的积分概念的表述在都是它的一种特殊情形呢为方便起见我们把一段直线和曲线一张有界平引言为方便起见我们把一段直线和曲线一张有界平引言为方便起见我们把

例7计算三重积分及平面所围成的闭区域.其中为三个坐标面解截面故原式(1)(2)根据例1所确定的积分限有例7计算三重积分及平面所围成的闭区域.其中为三个坐标面解(2)根据例1所确定的积分限有例7计算三重积分及平面所围成的闭区域.其中为三个坐标面解(2)根据例1所确定的积分限有完

例5化三重积分为三次积分其中积分区域为由曲面所围成的空间闭区域.解如图积分区域介于平面与旋转抛物面之间且在面上的投影为所以例5化三重积分为三次积分其中积分区域为由曲面所围成的空间闭区域.解在面上的投影为所以例5化三重积分为三次积分其中积分区域为由曲面所围成的空间闭区域.解在面上的投影为所以完

例5写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式解利用极坐标变换易见直线方程故积分区域的积分限为的极坐标形式为例5写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式解故积分区域的积分限为例5写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式解故积分区域的积分限为所以完

例13计算积分解不能用初等函数表示先改变积分次序.题设二次积分的积分限:可改写为例13计算积分解不能用初等函数表示先改变积分次序.可改写为例13计算积分解不能用初等函数表示先改变积分次序.可改写为完所以

例5化三重积分为三次积分其中积分区域为由曲面所围成的空间闭区域.解如图积分区域介于平面与旋转抛物面之间且在面上的投影为所以例5化三重积分为三次积分其中积分区域为由曲面所围成的空间闭区域.解在面上的投影为所以例5化三重积分为三次积分其中积分区域为由曲面所围成的空间闭区域.解在面上的投影为所以完

几种特殊类型函数的积分一有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式这有理函数是假分式 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点将有理函数化为部分分式之和.(1)分母中若有因式 则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为注关于部分分式分解如对进行分解

例4计算积分其中由曲所围成.面解区域介于曲面与平面之间将投影到平面得投影区域原式例4计算积分其中由曲所围成.面解将投影到平面得投影区域原式例4计算积分其中由曲所围成.面解将投影到平面得投影区域原式例4计算积分其中由曲所围成.面解将投影到平面得投影区域原式例4计算积分其中由曲所围成.面解将投影到平面得投影区域原式完

§7.5 第一型(对面积的)曲面积分的计算二 第一型曲面积分的计算记忆口诀：一代二换三投影 记忆口诀：一代二换三投影 记忆口诀：一代二换三投影 记忆口诀：一代二换三投影 §7.6 数量函数积分的应用举例1 质心§7.6 数量函数积分的应用

例5写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式解利用极坐标变换易见直线方程故积分区域的积分限为的极坐标形式为例5写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式解故积分区域的积分限为例5写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式解故积分区域的积分限为所以完

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