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  比值判别法证定理3设是正项级数当时有且或当时级数收敛当时包括级数发散本判别法失效.当 为有限数时当时则即比值判别法即比值判别法即当时取使则有而级数收敛 收敛 由比较判别法知再由定理2及其附注知比值判别法收敛 再由定理2及其附注知比值判别法收敛 再由定理2及其附注知级数收敛.当时取使则当时有即即当时级数的一般项逐渐增大从而根据级数收敛的必要条件知比值判别法从而根据级数收敛的必要条件知比值

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  比值判别法证有级数收敛;级数发散;本判别法失效则即比值判别法即比值判别法即则有由比较判别法知再由定理2及其附注知,比值判别法再由定理2及其附注知,比值判别法再由定理2及其附注知,比值判别法比值判别法发散比值判别法失效注:完

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  总体方差的假设检验个样本，(1)为已知常数由第五章第三节知，检验假设检验法时,总体方差的假设检验检验法时,总体方差的假设检验检验法时,大的趋势，故拒绝域形式为或查分布表得总体方差的假设检验总体方差的假设检验由此即得拒绝域为或即总体方差的假设检验总体方差的假设检验或若类似地，对单侧检验有：（2）右侧检验：检验假设：可得拒绝域为总体方差的假设检验（2）右侧检验：检验假设：可得拒绝域为总体方差的假设检验（2）右侧检验：检验假设：可得拒绝域为（3）可得拒绝域为完

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  可分离变量的微分方程设有一阶微分方程如果其右端函数能分解成即有则称方程为可分离变量的微分方程其中都是连续函数.根据这种方程的特点我们可通过积分来求解.设用除方程的两端用乘以方程的两端以使得未知函数与自变量置于等号的两边得可分离变量的微分方程用乘以方程的两端以使得未知函数与自变量置于等号的两边得可分离变量的微分方程用乘以方程的两端以使得未知函数与自变量置于等号的两边得两边积分得如果则易知也是方程的解

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  向量的坐标任给空间一向量将向量 平行移动使其起点与坐标原点重合终点记为过点 作三坐标轴的垂直平面如图根据向量的加法法则有以 分别表示沿 轴正向的单位向量则有从而上式称为向量 的坐标分解式.分别称向量的坐标从而上式称为向量 的坐标分解式.分别称向量的坐标从而上式称为向量 的坐标分解式.分别称为向量 沿 轴 轴 轴方向的分向

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  逻辑斯谛方程逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚载下去的时候长得比较慢渐渐地小树长高了而且长得越来越快几年不见绿荫底下已经可乘凉了但长到某一高度后它的生长速度趋于稳定然后再慢慢降下来.这一现象很具有普遍性.现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比则显然不符合两头尤其是后期的生长情形因为树不逻辑斯谛方程则显然

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  二阶线性微分方程解的定理定理5设是方程的解其中为实值函数为纯虚数.则与分别是方程与 的解.证由定理的假设有二阶线性微分方程解的定理证由定理的假设有二阶线性微分方程解的定理证由定理的假设有由于恒等式两边的实部与虚部分别相等所以从而证得结论.例如如果已知方程二阶线性微分方程解的定理从而证得结论.例如如果已知方程二阶线性微分方程解的定理从而证得结论.例如如果已知方程的通解为则分别是方程的通解.完

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  比较判别法定理2设均为正项级数且若收敛则收敛若发散则发散.设的部分和分别为则有证比较判别法比较判别法若收敛则其部分和数列 有界从而的部分和数列 有界 收敛.若发散则发散.假如不然收敛则由知也收敛发散相与条件故由定理1知故发散.矛盾.比较判别法故发散.矛盾.比较判别法故发散.矛盾.注:去掉级数前面有限项不改变数的收敛性 的条件可减弱为为常数比较判别(或审敛)法是判

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  性质7(定积分中值定理)如果函数在闭区间上连续则在积分区间上至少存在一个点使积分中值公式证由闭区间上连续函数的介值定理的推论在区间上至少存在一个点使由闭区间上连续函数的介值定理的推论在区间上至少存在一个点使由闭区间上连续函数的介值定理的推论在区间上至少存在一个点使即完

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