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  5 1．将函数展开为的幂级数。解：，∵，（ ），，（ ），∴，（ ）。 ，。 ∴ ，（ ）。2．将函数展开成的幂级数。解：，（）再积分，由，得 ，（）3．将函数展开成（）的幂级数，并指明展开式成立的区间。解：令，则，∴将代回，得636幂级数应用举例一、微分方程的级数解法例1．求解初值问题解：设方程的幂级数解为， ① 其中为待定常数。把代入①得：，即有 ② 对②逐项求导，得③把②和③代入方程，得，

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  636 幂级数应用举例作业习 题 七（P43）1（2）。

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  解

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  9 6．3．4幂级数一、幂级数的定义形如 ①的函数项级数称为幂级数，其中称为幂级数的系数。若令，则有 ② 通过变量代换，幂级数③可以化为幂级数。二、幂级数的收敛半径和收敛区间 定理6（阿贝尔定理）若在点收敛，则对于一切满足，绝对 收敛； （2）若在发散，则对于一切满足，发散。证明：（1）设在收敛，即收敛，则，从而数 列有界，即，使得（）。 故， 当时，，等比级数收敛，从而 收敛， 即 绝对收敛。

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  634 幂级数 一、幂级数的定义 R收敛半径（-R，R） 收敛区间作业习 题 五（P34）1（2）（4）（6）（8）（10）；2（1）（3）（5）（7）； 3（2）（4）。

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  38 §63 幂级数 §631函数项级数的基本概念 设为定义在数集上的函数列，则称①为数集上函数项级数。并称为①的部分和。 在①中，令，则得一数项级数：②若②收敛，则称点为函数项级数①的一个收敛点；若②发散，则称点为函数项级数①的一个发散点。收敛点组成的集合，称为收敛域。发散点组成的集合，称为发散域。若的收敛域为B，则，存在，设，，称为的和函数，记作，。称为余项，当时，有。 例如函数项级数的收敛

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  单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级数项级数判敛法的思维程序 §6.3 幂 级 数 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上是数项级数的收敛问题.(正项级数) 级数成为发散 问题的提出问题:6.3.2 函数项级数的一致收敛性解得和函数：该级数每一项都在(-11]是连续的例２．考察函数项级数和函数的连续性．结论问题一函数项级数的一致收敛性定义xyo几何解释:研究例