1.设则有先考虑 取正整数 且 的情形.又1.设则有先考虑 取正整数 且 的情形.又1.设则有先考虑 取正整数 且 的情形.又显然是单调递增的显然是单调递增的显然是单调递增的再由是有界的.故存在.记为2.再考虑 为实数的情形.(1)有当 时2.再考虑 为实数的情形.(1)有当 时
1则有又再由记为2(1)2(1)2(1)而(2)则(2)则(2)则从而则有完
等价无穷小替换定理证完存在则设是同一过程中的无穷小且注:这个定理表明在求两个无穷小之比的极限时分子及分母都可以用等价无穷小替换.因此如果无穷小的替换运用得当则可化简极限的计算.
左右极限左极限使当时恒有记作或右极限使当时恒有记作或注意左右极限或注意左右极限或注意定理完
无穷小与无穷大的关系定义在自变量变化的同一变化过程中无穷大的倒数为无穷小恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证设则使得当时恒有即当时为无穷小.反之设且使得当时恒有无穷小与无穷大的关系反之设且使得当时恒有无穷小与无穷大的关系反之设且使得当时恒有当时为无穷大.意义无穷大的讨论可归结为关于无穷小的讨论.即完
单调有界准则如果数列满足条件单调增加单调减少单调数列准则Ⅱ单调有界数列必有极限.例如单调增加数列:单调减少数列:完
求最值的一般步骤与一元函数类似我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.在本章的第一节中已经指出如果函数在有界闭区域上连且函数最大值点或最小值点续则在上必定能取得最大值和最小值.必在函数的极值点或的边界点上.在和不可导点的函数值因此只需求出在各驻点值然后加以比较.小值的一般步骤为:求函数的最大值和最第一步求函数在内所有驻点处的函数值及在边界上的最大值和最小求最值的一般步骤第一步求函数在内所有
等价无穷小替换定理设且存在则证注:(1)(2)完不能滥用等价无穷小代换对于代数和中各无穷小不能分别替换.
常用等价无穷小根据等价无穷小的定义可以证明当时有下列常用等价无穷小关系:注:当时为无穷小在常用等价无穷小中用任意一个无穷小代替等价关系依然成立.常用等价无穷小注:当时为无穷小在常用等价无穷小中用任意一个无穷小代替等价关系依然成立.常用等价无穷小注:当时为无穷小在常用等价无穷小中用任意一个无穷小代替等价关系依然成立.例如时有从而完
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