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  魏尔斯特拉斯判别法定理1如果函数项级数在区间上满足条件:(1)(2)正项级数收敛.则该函数项级数在区间上一致收敛.证因为正项级数收敛柯西准则知对任给定的存在自然数使当时对任意自然数有由常数项级数收敛的于是对一切都有魏尔斯特拉斯判别法于是对一切都有魏尔斯特拉斯判别法于是对一切都有令则由上式得项级数在区间上一致收敛.所以函数完

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  正弦级数与余弦级数一般地一个函数的傅里叶级数既含有正弦项含有余弦项(例2)但是也有一些函数的傅里叶级数(例4)导致这种现象的原因与所给函数的奇偶性有关事实上根据在对称区间上奇偶函数的积分性质易得到下列结论:设是周期为的周期函数则(1)又或者只含有常数项和余弦项只含有正弦项(例1)当为奇函数时其傅里叶系数为正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数即奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数(2)当为偶函

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  利用傅氏展开式求数项级数的和如从例4知函数的傅里叶展开式为当时设利用傅氏展开式求数项级数的和设利用傅氏展开式求数项级数的和设因为所以完

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  定理4如果级数在区间上收敛于和它的各项都有连续导数数在上一致收敛则级数在上也一致收敛且可逐项求导即有并且级证设根据题设条件知级数满足定理3的条件因而可逐项积分即有故有即即在满足定理的条件下求导运算与求和运算可即在满足定理的条件下求导运算与求和运算可即在满足定理的条件下求导运算与求和运算可注:仅有函数级数的一致收敛性并不能保证可以逐项求导.例如级数在任何区间上都是一致收敛的.所得级数为其一般项不趋于

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  定理6关于幂级数的和函数的连续性和逐项可积的结论由定理2和定理3定理5立即可得.对逐项可导的结论我们有如果幂级数的收敛半径为和函数在内可导且有逐项求导公式则其逐项求导后所得到的幂级数半径.证先证级数在内收敛.与原级数有相同的收敛证先证级数在内收敛.证先证级数在内收敛.在内任取使得记则由比值判别法知级数收敛于是故数列有界必有使得又级数收敛由比较判别法即得级数在内收敛由定理5级数在内的任意闭区上适合定

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  狄利克雷收敛定理本段我们要考虑另一个基本问题:函数在怎样的条件下它的傅里叶级数收敛到函数函数满足什么条件即就可以展开成傅里叶级数这个问题自十八世纪中叶提出以来当时欧洲的许多数学家都曾致力于它的解决直到1829年克雷才首次给出了这个问题对这一问题的研究极大地促进了数学分析的发展.这里我们不加证明地叙述收敛问题的一个充分条件.狄利狄利克雷关于傅里叶级数定理1(收敛定理 狄利克雷充分条件)的一个严格的数

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  定理5如果幂级数的收敛半径为此级数在内证记则对一切都有则上一致收敛.的任一闭区间而对收敛再由魏尔斯特拉判别法根据第四节的定理1知级数绝结论.进一步还可证明如果幂级数在收敛区间的端点收敛则一致收敛的区间可扩大到包含端点.完即得到所要证明的

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  定理5证都有则对收敛,再由魏尔斯特拉判别法结论进一步还可证明,的端点收敛,则一致收敛的区间可扩大到包含端点完即得到所要证明的