实对称矩阵的性质(1)实对称矩阵具有许多一般矩形所没有的特殊性质定理1实对称矩阵的特征值都为实数证其对应的即则于是有和得②①实对称矩阵的性质(1)实对称矩阵具有许多一般矩形所没有的特殊性质定理1实对称矩阵的特征值都为实数证得实对称矩阵的性质(1)实对称矩阵具有许多一般矩形所没有的特殊性质定理1实对称矩阵的特征值都为实数证得证毕注:对实对称矩阵是实系数方程从而有实特征向量组,完
内积的定义与性质定义令注:内积是两个向量间的一种运算,按矩阵的记法可表示为内积的定义与性质定义令运算性质:则完
实对称矩阵的性质(2)定理2实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的证于是于是证毕实对称矩阵的性质(2)定理3(证明略)定理4元素的对角矩阵从而证重数分别为它们的根据定理1和定理3知,对应特征值实对称矩阵的性质(2)定理4元素的对角矩阵证根据定理1和定理3知,对应特征值实对称矩阵的性质(2)定理4元素的对角矩阵证根据定理1和定理3知,对应特征值把它们正交化并单位化,理2知,则再由定并以它们为特征值完
对称矩阵对角化的方法与上节将一般矩阵对角化的方法类似,根据上述结论,利用正交矩阵将对称矩阵对角化的步骤为:将特征向量正交化;将特征向量单位化;以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵完
矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵,为了简化运算,经常采用分块法,使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算,同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰法是:将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵例如,每个小矩阵称为原矩阵的子块具体做矩阵的分块具体做法是:将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵例如,每个小矩阵称为原矩阵的子块矩阵的分
极大线性无关向量组定义满足相关无关组(简称为极大无关组)注:极大无关组亦称为最大无关组;只含零向量的向量组没有极大无关组;向量组的极大无关组可能不止一个,其向量的个数是相同的但由定义知,极大线性无关向量组注:极大无关组亦称为最大无关组;只含零向量的向量组没有极大无关组;向量组的极大无关组可能不止一个,其向量的个数是相同的但由定义知,极大线性无关向量组注:极大无关组亦称为最大无关组;只含零向量的向量
特征值与特征向量的概念定义注:有非零解的值,非特征值与特征向量的概念定义非特征值与特征向量的概念定义非程,特征多项式特征值与特征向量的概念定义非根据上述定义,即可给出特征向量的求法:则由齐次线性方程组特征向量则完
定义1使相似矩阵与相似变换的概念并称矩阵A与B相似注:1矩阵的相似关系是一种等价关系,满足:(1) 反身性(2) 对称性则 B 与 A 相似;可(3) 传递性B 与 C 相似,则 A与C相似 若 A 与 B 相似,若 A 与 B 相似,定义1使相似矩阵与相似变换的概念并称矩阵A与B相似注:1矩阵的相似关系是一种等价关系,满足:(1) 反身性(2) 对称性则 B 与 A 相似;(3) 传递性B 与
引例观察三阶行列式定义引例观察三阶行列式定义引例观察三阶行列式定义启示:易见该三阶行列式也可按第一列“展开”完
有理函数的积分有理函数的定义:两个多项式的商表示的函数称之.其中都是非负整数及都是实数并且假定分子与分母之间没有公因式:(1)这有理函数是真分式(2)这有理函数是假分式.利用多项式除法假分式可以化成一个多项式和一有理函数的积分利用多项式除法假分式可以化成一个多项式和一有理函数的积分利用多项式除法假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点将有理函数化为部分分式之和.有理函数化为部分分式之和的一
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