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  对称矩阵对角化的方法与上节将一般矩阵对角化的方法类似,根据上述结论,利用正交矩阵将对称矩阵对角化的步骤为:将特征向量正交化;将特征向量单位化;以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵完

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  引理外都为零,则该行列式等于积,证根据行列式的定义,易见再由引理外都为零,则该行列式等于积,证引理外都为零,则该行列式等于积,证引理外都为零,则该行列式等于积,证引理外都为零,则该行列式等于积,证注意到变换持不变完

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  实对称矩阵的性质(2)定理2实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的证于是于是证毕实对称矩阵的性质(2)定理3(证明略)定理4元素的对角矩阵从而证重数分别为它们的根据定理1和定理3知,对应特征值实对称矩阵的性质(2)定理4元素的对角矩阵证根据定理1和定理3知,对应特征值实对称矩阵的性质(2)定理4元素的对角矩阵证根据定理1和定理3知,对应特征值把它们正交化并单位化,理2知,则再由定并以它们为特征值完

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  向量,得到一个单位向量,这一过程令令令例如,求向量解完

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  实对称矩阵的性质(1)实对称矩阵具有许多一般矩形所没有的特殊性质定理1实对称矩阵的特征值都为实数证其对应的即则于是有和得②①实对称矩阵的性质(1)实对称矩阵具有许多一般矩形所没有的特殊性质定理1实对称矩阵的特征值都为实数证得实对称矩阵的性质(1)实对称矩阵具有许多一般矩形所没有的特殊性质定理1实对称矩阵的特征值都为实数证得证毕注:对实对称矩阵是实系数方程从而有实特征向量组,完

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  向量组的秩定义的个数称为该向量组的秩,记为规定:全由零向量组成的向量组的秩为零例如,前面已讨论过,二维向量组的极大线性无关组的向量的个数为 2,故注:列向量组的秩之间的关系,进一步讨论矩阵的秩与组成矩阵的行向量组或完参见定理 2

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  定理 1多项式相同,相似矩阵的质性证：从而有相同的特征值定理 1多项式相同,相似矩阵的质性如对例1中的矩阵,由易见它们有相同的特征值相似矩阵的质性相似矩阵的其它性质:1相似矩阵的秩相等;提示:相似矩阵一定等价,而等价的矩阵具有相同的秩2相似矩阵的行列式相等;提示:即得两边取行列式3相似矩阵具有相同的可逆性,当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似则相似矩阵的质性相似矩阵的其它性质:1相似矩阵的秩相等;2相

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  对称矩阵对角化的方法与上节将一般矩阵对角化的方法类似,根据上述结论,利用正交矩阵将对称矩阵对角化的步骤为:将特征向量正交化;将特征向量单位化;以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵完

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  矩阵的线性运算规律定义阵,即矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算规律则矩阵的线性运算规律矩阵的线性运算规律则矩阵的线性运算规律矩阵的线性运算规律则注意:由矩阵加法及负矩阵,可定义矩阵减法:完

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  线性方程组解的判定定理定理 1有非零解的充要条件是系数矩阵的秩证必要性根据克莱姆法则,与假设矛盾,充分性即可得到方程组的一个非零解证毕定理 2证必要性这与方程组有解相矛盾,充分性的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量,知量全为零,即可得到方程组的一个解证毕完其