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单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第一节 特征值与特征向量一 特征值与特征向量的概念二 特征值和特征向量的求法第一节 特征值与特征向量三 特征值和特征向量的性质一特征值与特征向量的概念定义A为n阶方阵为数为n维非零向量若则λ称为A的特征值称为A的特征向量.(1)注② 并不一定
2 矩阵的特征值与特征向量本节将讨论矩阵的特征值及其性质矩阵对角化1. 矩阵的特征值及其性质定义12 设非零向量∈若存在数使得 =称数是矩阵的特征值是矩阵的属于的特征向量. ■ 下面讨论如何计算的特征值与特征向量. - = 0 亦即 ……… ①注意到≠故上①的系数行列式等于:
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单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级矩阵的特征值与特征向量一. 特征值与特征向量的求法1.利用定义求特征值与特征向量注:用定义求特征值与特征向量最重要的是求出特征值. 为此首先求出矩阵的特征多项式并将它按降幂排列然后通过试根或因式分解将其化为一次式的乘积从而求出特征值. 求特征向量即求齐次方程组 (A-?E)x=0 的基础解系. 2.利用公式求特征值与特征向
三特征值与特征向量的性质设A是n阶方阵若数 和n 维非零列向量x 使得注: (1)如果实矩阵A有实特征值则A一定有实特征向量.的通解x (去掉零解)是解:由对于特征值 解方程组证明:的特征值性质3(充分性) 设A有一个特征值为0对应的特征向量为x1.解:例7不一定 是 的一个特征值它对应的最大无关的
矩阵的特征值与特征向量一 特征值与特征向量的求法1利用定义求特征值与特征向量注:用定义求特征值与特征向量,最重要的是求出特征值为此,首先求出矩阵的特征多项式,并将它按降幂排列,然后通过试根或因式分解将其化为一次式的乘积,从而求出特征值求特征向量即求齐次方程组 (A-?E)x=0 的基础解系 2利用公式求特征值与特征向量二 A 与对角阵相似的解题方法注:当矩阵有重特征值时,我们用定理“A 与对角阵相
§2 特征值与特征向量 一、特征值和特征向量的概念二、特征值和特征向量的计算方法三、特征值和特征向量的性质1 这一节引入特征值和特征向量的概念,对于研究矩阵与对角矩阵相似的问题,以及用正交变换将二次型化为标准形提供方便,此外,这两个概念在某些数学学科中有重要应用。2定义8存在 n 维非零列向量 X ,使①特征值特征向量3根据定义8,以下线性方程组有非零解:4齐次线性方程组5称为 A 的特征矩阵行列
矩阵的特征值与特征向量一 特征值与特征向量的求法1利用定义求特征值与特征向量注:用定义求特征值与特征向量,最重要的是求出特征值为此,首先求出矩阵的特征多项式,并将它按降幂排列,然后通过试根或因式分解将其化为一次式的乘积,从而求出特征值求特征向量即求齐次方程组 (?E-A)x=0 的基础解系 2利用公式求特征值与特征向量二 A 与对角阵相似的解题方法注:当矩阵有重特征值时,我们用定理“A 与对角阵相
练习一A=[3 -1-1 3]A = 3 -1 -1 3>> eig(A)ans = 2 4>> [XD]=eig(A)X = - - - D = 2 0 0 4习题一(3)C=[1 1 1 11 1 -1 -11 -1 1 -11 1 -1 1]C = 1 1 1 1
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