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  定理 5设有两向量组则向证②故齐次线性方程组定理 5设有两向量组则向证故齐次线性方程组定理 5设有两向量组则向证故齐次线性方程组有非零解,等价命题证毕若定理 5设有两向量组则向推论证证毕完则则

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  向量空间的基与维数定义且满足注:数没有基;它量组的极大无关组,向量空间的基与维数注:没有基;它量组的极大无关组,向量空间的基与维数注:没有基;它量组的极大无关组,此时, 完

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  定理 2设有列向量组证由齐次线性方程组有非零解的充要条件是:其系数矩阵的秩小于未知数的个数,推论 1充要条件是:定理得证 定理 2设有列向量组推论 2的充要条件是:不等于零注:推论 3当向量组中所含向量的个数大于向量的上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立维数时,完此向量组线性相关

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  定理 3则证使得定理 3则证定理 3则证从而方程组即有非零解,无关矛盾, 证毕推论1等价的向量组的秩相等(由等价的定义及定理推得)定理 3则推论 2则证由因此由上面结论得证毕即定理 3则推论 3若向量组 证从而向量完因向量

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  线性相关性的判定定理 1要条件是向量组中个向量线性表示证必要性则存在不成立于是线性相关性的判定定理 1要条件是向量组中个向量线性表示证充分性不妨设证毕由其余向量线性表示,例如,设有向量组线性相关性的判定定理 1要条件是向量组中个向量线性表示例如,设有向量组线性相关性的判定定理 1要条件是向量组中个向量线性表示例如,设有向量组因为由又如,则有由此可得完

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  定理 4而证故存在一组不全为成立得证定理 4而证易知再证表示法的唯一性 若故表示法是唯一的 证毕定理 4而证易知故表示法是唯一的 证毕定理 4而证易知故表示法是唯一的 证毕例如,可由初始单即完

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  线性相关与线性无关定义若存在不全为零成立,否则称为线性无:线性相关与线性无:线性相关与线性无:3包含零向量的任何向量组是线性相关的;4仅含两个向量的向量组线性相关的充要条件是这两个向量的分量对应成比例;5两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 向量共面完三个向量线性相关的几何意义是这三个

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  定理 3如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关,则整个向量组线性相关证部分组线性相关,成立因而存在一组不全为零的数使成立,证部分组线性相关,成立因而存在一组不全为零的数使成立,线性相关即证部分组线性相关,成立因而存在一组不全为零的数使成立,线性相关即例如, 因零向量线性相关, 注:定理亦可叙述如下:线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关含有零向量的向量组线性相关由定理可知,该向量组也线性相关完

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  定理 5设有两向量组则向证②故齐次线性方程组定理 5设有两向量组则向证故齐次线性方程组定理 5设有两向量组则向证故齐次线性方程组有非零解,等价命题证毕若定理 5设有两向量组则向推论证证毕完则则

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  线性方程组解的判定定理定理 1有非零解的充要条件是系数矩阵的秩证必要性根据克莱姆法则,与假设矛盾,充分性即可得到方程组的一个非零解证毕定理 2证必要性这与方程组有解相矛盾,充分性的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量,知量全为零,即可得到方程组的一个解证毕完其