1拉格朗日方程拉格朗日方程实质就是广义坐标表示下的动力学普遍方程牛顿第二定律牛顿第二定律在直角坐标下的表示:2动力学的基本方法牛顿定律动量定理动量矩定理动能定理达朗贝尔原理//动静法虚位移原理动力学普遍方程矢量力学分析力学3在直角坐标下:矢量力学静力学:力系平衡分析力学静力学:虚位移原理在广义坐标下:4虚位移原理有广义坐标形式虚位移原理的数学形式:5在直角坐标下:矢量力学质点系动力学:分析力学动力
1§5-2、拉格朗日方程T 为系统的动能,可表示成:方程的推导见:教材《动力学》P140-1422§5-2、拉格朗日方程例:建立质量为m的质点在重力作用下的动力学方程。1、系统的自由度为k=32、系统的广义坐标:3、系统的动能解:4、系统的广义力3§5-2、拉格朗日方程第二类拉格朗日方程几种形式1、当主动力均为有势力时设:L=T-V (拉格朗日函数)4§5-2、拉格朗日方程2、当主动力部分为有势力
§5-5、第一类拉格朗日方程一、问题的引出系统的动能系统的约束方程描述系统位置和形状的坐标不独立1§5-5、第一类拉格朗日方程应用第二类拉格朗日方程必须选取独立的位形坐标。第二类拉格朗日方程不能求约束力。2§5-5、第一类拉格朗日方程二、第一类拉格朗日方程 对上述方程求微分有:反映的微小位移应满足的关系约束方程 约束方程约束方程求全微分,反映两点的微小位移在两点连线上的投影相等3§5-5、第一类拉
1第一章质点动力学(动力学部分) 质点动力学研究的是质点的运动与其受力之间的关系。在惯性参考系中质点动力学问题在非惯性系中的质点动力学问题2第一、二定律: 第三定律:第一定律第二定律第三定律§2 质点运动微分方程适用条件?理论基础:牛顿定律与微积分惯性系 任意系3二、 直角坐标形式:三、 自然坐标形式:一、矢量形式:4四、 动力学基本问题1已知力,求运动规律;2已知运动规律,求作用力;3已知部分运
1刚体动力学解法刚体动力学:动力学普遍定理在刚体上的应用。刚体运动分解成随质心的平动+绕质心的(定轴)转动;作用在刚体上的力向质心简化;应用质点系的质心运动定理和关于质心的动量矩定理。2刚体平面运动微分方程设:刚体具有 质量对称面,它在自身所在的平面内运动,作用在刚体上的力系可简化为该平面内的一个平面力系。利用质心运动定理和相对质心的动量矩定理36个未知量,2个研究对象49个未知量,3个研究对象5
问题:如何建立定点运动刚体的无限小转角与刚体上点的无限小位移之间的关系?三次转动OAA1无限小转角与无限小位移之间的关系:一次转动一次转动2定点运动刚体上各点的速度速 度:3刚体定点运动的角速度和角加速度角速度4角速度章动角速度自转角速度5自转角速度进动角速度章动角速度角速度6Q:怎样找到角速度的方向1 合成2 寻找刚体上速度为零的点瞬时转动轴:在某瞬时,刚体上存在一根通过定点O的 轴,在该轴上各
OBAA,B1刚体定点运动的运动方程定点运动刚体的角速度2角速度章动角速度进动角自转角自转角速度34从研究刚体定点运动的无限小位移着手结论:定点运动刚体无限小位移的顺序可交换定点运动刚体上点的速度略去二阶小量求导数1 不方便2 物理意义不明确5问题:如何建立定点运动刚体的无限小转角与刚体上点的无限小位移之间的关系?三次转动OAA6无限小转角与无限小位移之间的关系一次转动一次转动7四、定点运动刚体上
1动量 momentum质点系的动量(momentum of particle system)矢量和,没有涉及动量的位置动或静?23动量的‘位置’ 、力的‘位置’ 4动量矩Moment of momentum (Angular momentum)考虑了动量 mivi及动量的‘位置’ ri5动量矩 动量 ‘位置’的描述 Moment of momentum (Angular momentum) 6质
1第五章拉格朗日方程1 动力学普遍方程2 拉格朗日方程 3 拉格朗日方程的首次积分 2动力学的基本方法牛顿定律动量定理动量矩定理动能定理达朗贝尔原理//动静法虚位移原理拉格朗日方程守恒律首次积分3§5-3、拉格朗日方程的首次积分一、质点系动能的结构45已知非定常约束则系统的自由度为k=1系统的动能为:6设:系统主动力为有势力二、循环积分该式称为循环积分三、能量积分如果保守系统拉格朗日函数中不显含时
经典力学的发展从虚位移与达朗贝尔原理谈起虚位移原理告诉了我们什么?达朗贝尔原理告诉了我们什么?17 世纪末,质点动力学理论已经完善 此时,伯努利家族的雅各布和约翰两兄弟将牛顿和莱布尼兹创建的无穷小微积分加以扩展,创立了变分法 1717 年,约翰提出了虚位移原理 欧拉(Leonard Euler)师承约翰伯努利(Johann Bernoulli),在数学、力学的众多领域都有突出贡献 他对力学的两个主
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