微分方程的概念一般地含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.类似地未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.例如方程分别是一阶和二阶偏微分方程.微分方程的概念分别是一阶和二阶偏微分方程.微分方程的概念分别是一阶和二阶偏微分方程.常微分方程的一般形式是:其中为自变量是未知函数

3.设是由方程所确定的而的函数试求解一可以用全微分法求解 .分别对方程与的两端求全微分将方程组中消去得整理得3.设是由方程所确定的而的函数试求解二将函数看成及方程方程组该方程组含有三个变量从方程组中可以求出对于方程组关于求导数得因此可确定两个函数及3.设是由方程所确定的而的函数试求解二对于方程组关于求导数得3.设是由方程所确定的而的函数试求解二对于方程组关于求导数得即解之得完

例4解设求在点处的值.方程两边对求导得代入得将方程(1)两边再对求导得代入例4解设求在点处的值.代入得将方程(1)两边再对求导得代入例4解设求在点处的值.代入得将方程(1)两边再对求导得代入得完

例11已知函数是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解试确定常数 与 的值及该方程的通解.解法1将代入原方程得比较两边同类项系数得方程组解此方程组于是原方程为得 其通解为解法2将已知方程的特解改写为例11已知函数是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解试确定常数 与 的值及该方程的通解.解法2将已知方程的特解改写为例11已知函数是二阶常系数非齐次线性微分方程的一

例7解得解得完求的通解.两端除以令得故所求通解为

1.验证函数是微分方程的解并求满足初始条件的特解 .练习完

1.求微分方程的通解 .解法1令或原方程变为即或其特征方程的根为故对应齐次线性方程的通解为1.求微分方程的通解 .解法1故对应齐次线性方程的通解为1.求微分方程的通解 .解法1故对应齐次线性方程的通解为设原方程的特解代入原方程得从而故原方程的通解为1.求微分方程的通解 .1.求微分方程的通解 .解法2因为方程不显含可先引入变量代换则代入原方程降阶得这是欧拉方程但微分方程降低一阶解之得即积分得原方程

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级§4-4 一阶电路对阶跃激励的全响应 定义：由阶跃激励与原始储能 共同产生的响应 注意区分阶跃响应 例1. 已知uC(0?) = U0 求开关闭合后的uC(t)iR(t)解法一. 列写及求解微分方程1)根据换路定则有： uC(0)=uC(0?) = U02)t≥0有：带入()式 得：解法二. 零输入响应

第五章 微分方程模型5.1 传染病模型5.2 经济增长模型5.3 正规战与游击战5.4 药物在体内的分布与排除5.5 香烟过滤嘴的作用5.6 人口的预测和控制5.7 烟雾的扩散与消失5.8 万有引力定律的发现动态模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程. 分析对象特征的变化规律. 预报对象特征的未来性态. 研究控制对象特征的手段. 根据函数及其变化率之间的关系确定函数.

单击此处编辑母版标题样式X第 页§2.1 LTI连续系统的响应一微分方程的经典解微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法1．微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程对于电路系统主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程 元件特性约束：表征元件特性的关系式例如二端元件电阻电容电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互

实验四 导弹跟踪问题实验目的 本实验主要涉及常微分方程通过实验复习微分方程的建模和求解介绍两种求解微分方程的数值方法：Euler法和改进的Euler法还介绍了仿真方法实际问题 某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘以90kmh的速度向正东方向行驶该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇导弹的速度为450kmh自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇试问导弹在何时何处击中敌艇三

单击以编辑母版标题样式单击以编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级常系数线性微分方程组 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二节解法举例解方程组 高阶方程求解 消元代入法 算子法 第十一章 常系数线性微分方程组解法步骤:第一步 用消元法消去其他未知函数 得到只含一个 函数的高阶方程 第二步 求出此高阶方程的未知函数 第三步 把

例3解线运动.如果开始时质点位于原点且初速度为零求这质点的运动规律.由牛顿第二定律得质点运动的微分方程质量为的质点受力的作用轴作直沿设力仅是时间的函数:在开始时刻时随着时间的增大此力均匀地减少直到时设在时刻质点的位置为由题设随增大而均匀地减少例3解由牛顿第二定律得质点运动的微分方程设在时刻质点的位置为由题设随增大而均匀地减少例3解由牛顿第二定律得质点运动的微分方程设在时刻质点的位置为由题设随增大而

单击以编辑母版标题样式单击以编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第七章 1二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子代入①得称②为微分方程①的特征方程1. 当时 ②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为( r 为待定常数 )①所以令①的解为 ②则微分其根称为特征根.

函数极限连续1.疑问点：不能联想到倍角公式进行化简求极限题型：极限计算考点：函数极限计算解释说明：2.疑问点：当不能利用单调有界收敛定理证明数列极限存在时想不到使用极限的定义证明题型：极限计算考点：数列极限解释说明：数列极限收敛性证明常用方法有①单调有界收敛定理②极限的定义第二章 一元函数微分学1.疑问点：一点可导大于0为什么推不出区间上函数单调递增题型：函数及其性质考点：函数的单调性解释说明

可化为齐次方程的微分方程例如有些方程本身虽然不是齐次的但通过适当的变换可以化为齐次方程.对于形如的方程先求出两条直线的交点然后作平移变换即这时于是原方程就化为齐次方程可化为齐次方程的微分方程这时于是原方程就化为齐次方程可化为齐次方程的微分方程这时于是原方程就化为齐次方程此外对具体问题应具体分析根据所给方程的特点作变量代换将方程化为齐次方程或可分离变量方程.完

例8解题设方程为齐次方程则求微分方程满足初始条件的特解.设代入原方程得分离变量得两边积分得将回代则得到题设方程的通解为例8解求微分方程满足初始条件的特解.两边积分得将回代则得到题设方程的通解为例8解求微分方程满足初始条件的特解.两边积分得将回代则得到题设方程的通解为利用初始条件得到从而所求题设方程的特解为完

例6如图所示解解此微分方程得部分的面积平行于轴的动直线截下的线段与之长数值上等于阴影求曲线两边求导得被曲线故所求曲线为由得完

例7已知一个四阶常系数齐次线性微分方程个线性无关的特解为求这个四阶微分方程及其通解.解由可知与它们对应的特征根为二重根由可知与它们对应的特征根为一对共轭复根所以特征方程为的四即它所对应的微分方程为其通解为完

1.求微分方程的通解 .解分离变量得积分得所求的通解为即完