引例设有一块长方形的金属板在一定的温度边界条件下金属板受热产生如图温度分布场.设有一只蚂蚁在板中逃生至板中某处问这只蚂蚁在该点处沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向爬行这样就要计算场中各点沿不同方向的温度变化率从而确定出温度下降最快那个方向这个方向即所谓梯度方向.由此引入函数的方向导数与梯度的概念.完

三物理意义 沿方向 l (方向角为在点 P 可微 x处沿非零矢量思考：第二个结果为什么是负的例1. 求函数 解:将已知曲线用参数方程表示为解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有等值面(等量面)综上所述：分析 得平面投影曲线三物理意义如: 力场速度场等这说明场强:在点2. 梯度? 机动 目录 上页 下页

例8求函数哪个方向的方向导数最大最大值是多少在点处沿解由得从而于是在点处沿方向的方向导数最大最大值是完

例3求函数沿点指向点方向的方向导数.在点处解这里为的方向方向余弦为又向量的解解所以于是完

内容小结1. 方向导数的概念定义如图定理设在点可微则其中为轴到方向的转角 .内容小结1. 方向导数的概念类似地设在点可微则其中为空间射线的方向角 .2. 梯度的概念定义内容小结1. 方向导数的概念2. 梯度的概念定义内容小结1. 方向导数的概念2. 梯度的概念定义其模方向导数与梯度的关系 : 梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致而梯度的模即为方向导数的最大值 .完

例8求函数哪个方向的方向导数最大最大值是多少在点处沿解由得从而于是在点处沿方向的方向导数最大最大值是完

梯度的概念设函数在平面区域内续偏导数则对于每一点个向量定义具有一阶连都可以定出一的梯度记为即设是与方向同方向的单位向量 则有称它为函数在点梯度的概念梯度的概念其中于是是梯度在射线上的投影.易见当时达到最大值.由此得到下列结论:结论函数在某点的梯度是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为轴到梯度的转角的正切为梯度的概念轴到梯度的转角的正切为梯度的模为梯

例1求函数点的方向的方向导数.解这里方向即为故轴到方向的转角所求方向导数完在点处沿从点到

例2求函数在点沿与轴方向夹角为的方向射线的方向导数向在怎样的方向上此方向导数有(1)最大值(2)最小值(3)等于零解由方向导数的计算公式知并解由方向导数的计算公式知解由方向导数的计算公式知故(1)当时方向导数达到最大值(2)当时方向导数达到最小值(3)方向导数等于0.当时和完

引例设有一块长方形的金属板在一定的温度边界条件下金属板受热产生如图温度分布场.设有一只蚂蚁在板中逃生至板中某处问这只蚂蚁在该点处沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向爬行这样就要计算场中各点沿不同方向的温度变化率从而确定出温度下降最快那个方向这个方向即所谓梯度方向.由此引入函数的方向导数与梯度的概念.完

上一页 首页 下一页的变化率其中求函数在原点的偏导数不存在解方向导数取到最大值：简称梯度故梯度矢量contourplot(x(x2y21)x=0..4y=-3..3contours=15thickness=3color=brown)梯度的几何解释并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面gradplot3d(x2yxzx=-2..2y=-2..2z=-2..2color=red)c

内容小结1. 方向导数的概念定义如图定理设在点可微则其中为轴到方向的转角 .内容小结1. 方向导数的概念类似地设在点可微则其中为空间射线的方向角 .2. 梯度的概念定义内容小结1. 方向导数的概念2. 梯度的概念定义内容小结1. 方向导数的概念2. 梯度的概念定义其模方向导数与梯度的关系 : 梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致而梯度的模即为方向导数的最大值 .完

一方向导数的定义P0解故故而由方向与过点P 的等高线 f ( x y ) = C 在这点的法线的一个方向相同且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线故练习题答案

例1求函数点的方向的方向导数.解这里方向即为故轴到方向的转角所求方向导数完在点处沿从点到

第八章 多元函数微分法及其 应用习题课(一)多元函数微分法一多元函数的基本概念 1.极 限： 2.连 续： 3.偏导数： 4.全微分： 5.方向导数： 6.梯 度： 二元函数 在点 沿方向 的方向导数为 若

例5设是曲面在点处的指向外侧的法向量求函数在此处沿方向的方向导数.解令故方向余弦为例5设是曲面在点处的指向外侧的法向量求函数在此处沿方向的方向导数.解例5设是曲面在点处的指向外侧的法向量求函数在此处沿方向的方向导数.解例5设是曲面在点处的指向外侧的法向量求函数在此处沿方向的方向导数.解例5设是曲面在点处的指向外侧的法向量求函数在此处沿方向的方向导数.解所以完

习题九1. 求函数u=xy2z3-xyz在点(112)处沿方向角为的方向导数解：2. 求函数u=xyz在点(512)处沿从点A(512)到B(9414)的方向导数解：的方向余弦为故3. 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数解：设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为φ它是第三象限的角因为所以在点处切线斜率为法线斜率为.于是∵∴4.研究下列函数的极值：(1)z=x3y3－3(x2y2)(

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级方向导数与梯度实例：一块长方形的金属板四个顶点的坐标是(11)(51)(13)(53)．在坐标原点处有一个火焰它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(32)处有一个蚂蚁问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行．一方向导数的定义

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第七节 方向导数与梯度一方向导数二梯度一问题的提出一块长方形的金属板受热产生如图温度分布场. 设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行才能最快到达凉快的地点处问题的实质： 应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行．需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率从而确定出温度下降的最快方向引入两个概念：方向导数和梯度方向导数问

例2求函数在点沿与轴方向夹角为的方向射线的方向导数向在怎样的方向上此方向导数有(1)最大值(2)最小值(3)等于零解由方向导数的计算公式知并解由方向导数的计算公式知解由方向导数的计算公式知故(1)当时方向导数达到最大值(2)当时方向导数达到最小值(3)方向导数等于0.当时和完