初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义(欧拉(Euler)函数)一组数称为是模的既约剩余系,如果对任意的,且对于任意的,若=1,则有且仅有一个是对模的剩余,即。并定义中和互质的数的个数,称为欧拉(Euler)函数。这是数论中的非常重要的一个函数,显然,而对于,就是1,2,…,中与互素的数的个数,比如说是素数,则有。 引理:;可用容斥定理来证(证明略
几个重要不等式一平均值不等式设a1a2… an是n个正实数则当且仅当a1=a2=…=an时取等号1.二维平均值不等式的变形(1)对实数ab有a2b2?2ab (2)对正实数ab有(3)对b>0有 (4)对ab2>0有 (5)对实数ab有a(a?b)?b(a?b)(6)对a>0有(7) 对a>0有(8)对实数ab有a2?2ab?b2(9) 对实数ab及
二柯西不等式当且仅当bi=?ai (1?i?n)时取等号柯西不等式的几种变形形式1.设ai?Rbi>0 (i=12…n)则当且仅当bi=?ai (1?i?n)时取等号2.设aibi同号且不为零(i=12…n)则当且仅当b1=b2=…=bn时取等号例1.已知a1a2a3…anb1b2…bn为正数求证:证明:左边=例2.对实数a1a2…an求证:证明:左边=例3.在?ABC中设其各边长为abc外接圆半
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初中数学竞赛平面几何中几个重要定理定理1 正弦定理中设外接圆半径为则证明:如图1-1图1-2过作直径则故即 同理可得当为钝角时可考虑其补角.当为直角时故无论哪种情况正弦定理成立定理2 余弦定理 中有关系 有时也用它的等价形式 定理3 梅涅(Menelaus)劳斯定理(梅氏线)直线截的边或其延长线于则. 定理4塞瓦定理(Ceva) (塞瓦点)设是内任意一点分别交对边于则定
初中数学竞赛平面几何中几个重要定理定理1 正弦定理中设外接圆半径为则证明:如图1-1图1-2过作直径则故即 同理可得当为钝角时可考虑其补角.当为直角时故无论哪种情况正弦定理成立定理2 余弦定理 中有关系 有时也用它的等价形式 定理3 梅涅(Menelaus)劳斯定理(梅氏线)直线截的边或其延长线于则. 定理4塞瓦定理(Ceva) (塞瓦点)设是内任意一点分别交对边于则定理5塞
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初中数学重要的几何定理1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行这两条直线也互相平行 9 同位角相等两直线平行 10 内错角相等两直线平行 11 同旁内
第二节 几个重要不等式的证明及其应用解析
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