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  向量的线性运算定义2即由加法和负向量的定义,可定义减法:定义3乘积,即向量的线性运算定义3乘积,即向量的线性运算定义3乘积,即注:向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同即有向量的线性运算注:向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同即有向量的线性运算注:向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同即有完

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  定义1也可写成一列按第 2 章的规定,分别称为行向量和列向量,也就是行矩阵和列矩阵,并规定行向量和列向量都按矩阵的运算法则进行运算因此,行向量和列向量总是视为不同的向量本书中,量,在没有特别指明的情况下都视为列向量所讨论的向量定义1注:例如,由空间解析几何知,空间通常作为点的集合,空间,一一对应,故又把三维向量的全体所组成的集合称为点定义1由空间解析几何知,空间通常作为点的集合,空间,一一对应,故

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  定理 1线性表示的充要条件是证注意到线性方程组有解的充要条件是:其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩定理 1线性表示的充要条件是证即:为列向量的矩阵有相同的秩证毕完

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  特征值与特征向量的性质(2)性质3如果有一个成立,特征值与特征向量的性质(2)特征值与特征向量的性质(2)则定理成立,成立证毕完

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  平衡方程组的解知矩阵且(称为列昂惕夫逆矩阵)的所有元素也非负 因此，对产品平衡方程组平衡方程组的解因此，对产品平衡方程组平衡方程组的解因此，对产品平衡方程组则可求得总产品向量这样的解在经济预测和分析中才具有实际意义 而对产值构成平衡方程组，平衡方程组的解而对产值构成平衡方程组，平衡方程组的解而对产值构成平衡方程组，因对角矩阵的主对角线元素均为正数，且反之，如果则可求出对应的总产完

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  向量组与矩阵若干个同维数的列向量(同维数的行向量)所组成的集合称为向量组向量组与矩阵若干个同维数的列向量(同维数的行向量)所组成的集合称为向量组完

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  线性方程组的向量形式设线性方程组线性方程组的向量形式设线性方程组于是,就相当于是否存在此时,完

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  定理 3如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关,则整个向量组线性相关证部分组线性相关,成立因而存在一组不全为零的数使成立,证部分组线性相关,成立因而存在一组不全为零的数使成立,线性相关即证部分组线性相关,成立因而存在一组不全为零的数使成立,线性相关即例如, 因零向量线性相关, 注:定理亦可叙述如下:线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关含有零向量的向量组线性相关由定理可知,该向量组也线性相关完

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  向量组的线性组合定义4对于任何一这个线性组合的系数定义5使向量组的线性组合例如,注:的充分必要条件是线性方程组有唯一解;唯一的充分必要条件是线性方程组向量组的线性组合注:唯一的充分必要条件是线性方程组向量组的线性组合注:唯一的充分必要条件是线性方程组有无穷多个解;必要条件是线性方程组无解完