向量组与矩阵若干个同维数的列向量(同维数的行向量)所组成的集合称为向量组向量组与矩阵若干个同维数的列向量(同维数的行向量)所组成的集合称为向量组完
向量的线性运算定义2即由加法和负向量的定义,可定义减法:定义3乘积,即向量的线性运算定义3乘积,即向量的线性运算定义3乘积,即注:向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同即有向量的线性运算注:向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同即有向量的线性运算注:向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同即有完
定理 1关部分组,证必要性组,时,线性无关,定理 1关部分组,证充分性注:完则组都线性相关,向量组与其极大线性无关组可相互线性表示
定义1也可写成一列按第 2 章的规定,分别称为行向量和列向量,也就是行矩阵和列矩阵,并规定行向量和列向量都按矩阵的运算法则进行运算因此,行向量和列向量总是视为不同的向量本书中,量,在没有特别指明的情况下都视为列向量所讨论的向量定义1注:例如,由空间解析几何知,空间通常作为点的集合,空间,一一对应,故又把三维向量的全体所组成的集合称为点定义1由空间解析几何知,空间通常作为点的集合,空间,一一对应,故
定理 1线性表示的充要条件是证注意到线性方程组有解的充要条件是:其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩定理 1线性表示的充要条件是证即:为列向量的矩阵有相同的秩证毕完
向量组的线性组合定义4对于任何一这个线性组合的系数定义5使向量组的线性组合例如,注:的充分必要条件是线性方程组有唯一解;唯一的充分必要条件是线性方程组向量组的线性组合注:唯一的充分必要条件是线性方程组向量组的线性组合注:唯一的充分必要条件是线性方程组有无穷多个解;必要条件是线性方程组无解完
子空间定义例如,完
齐次线性方程组解的性质方程组的解证证毕是该方程组的解齐次线性方程组解的性质是该方程组的解方程组的解齐次线性方程组解的性质是该方程组的解方程组的解证证毕为实数,则线性组合齐次线性方程组解的性质是该方程组的解方程组的解为实数,则线性组合齐次线性方程组解的性质是该方程组的解方程组的解为实数,则线性组合注:则它就有无穷多齐次线性方程组若有非零解,个解齐次线性方程组解的性质注:则它就有无穷多齐次线性方程组若
线性相关性的判定定理 1要条件是向量组中个向量线性表示证必要性则存在不成立于是线性相关性的判定定理 1要条件是向量组中个向量线性表示证充分性不妨设证毕由其余向量线性表示,例如,设有向量组线性相关性的判定定理 1要条件是向量组中个向量线性表示例如,设有向量组线性相关性的判定定理 1要条件是向量组中个向量线性表示例如,设有向量组因为由又如,则有由此可得完
用配方法化二次型为标准形例如,准形其中利用拉格朗日配方法可证得下列结论定理1任意二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形用配方法化二次型为标准形定理1任意二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形用配方法化二次型为标准形定理1任意二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形拉格朗日配方法的步骤如下:项集中,然后配方,再对其余的变量重复上述过程直到都配成平方项为止,经过可逆线性变换,到标准形;2若二次型中不含有
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