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    第5章 矩阵特征值及其计算51 特征值问题511 一般特征值问题512 实对称矩阵的特征值问题513 Hermitian矩阵的特征值问题514 两个实对称矩阵形成的特征值问题515 非对称实矩阵的特征值问题52 特征解的性质521 Rayleigh原理522 约束系统的Rayleigh原理523 特征值的极大极小性质524 Hermitian矩阵的正定准则525 Gerschgorin定理53 特

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    单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级§1 引 言第8章 矩阵特征值问题计算 物理力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题例如振动问题(大型桥梁或建筑物的振动机械的振动电磁震荡等)物理学中的某些临界值的确定20224201202242022022420320224204202242052022420620224207202242082

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    单击以编辑母版标题样式单击以编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第八章. 矩阵特征值和特征向量计算但高次多项式求根精度低 一般不作为求解方法. 目前的方法是针对矩阵的特点可以给出不同的有效方法.X 是A的特征向量 是A的关于X的特征值矩阵特征值与特征向量知识(复习)特征向量是齐次方程组的根: 唯一特征值不唯一特征向量属于不同特征值的特征向量是线性无关的相似的矩阵有相同的特征多项式反

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    第8章 矩阵特征问题的计算81 引言82 幂法及反幂法83 豪斯霍尔德方法84 QR方法81 引言工程技术中有多种振动问题,如桥梁或建筑物的振动,机械零件、飞机机翼的振动,及一些稳定性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础知识定义1 ⑴ 已知n阶矩阵A=(aij),则称为A的特征多项式 一般有n个根(实的或复的,复根按重数计算)称为A

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    则 (1)A的任一特征值至少位于其中一个圆盘内 (2)在m个圆盘相互连通(而与其余n-m个圆盘互不连通)的区域内恰有A的m个特征值(重特征值按重数记).0 设A是单构矩阵 即A有n个线性无关的特征向量. …………………………………………… 乘幂法的收敛速度取决于?2?1的大小. v2(k)v2(k-1)

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    定理1 :A?R n?n?1 … ?n为A的特征值则3 设A是单构矩阵 即A有n个线性无关的特征向量.若β1?0 则对充分大的k有 幂法的规范化计算公式为:因此当k充分大时可取: ?1 ? mk ξ1 ? …101112所以乘幂法收敛速度取决于比值?2?1当?2?1?1时收敛是很慢的. 作矩阵B=A-pE 则B的特征值为qi=?i-p(i=12…n)而且对应的特征向量相同.

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    乘幂法三改进后的乘幂法的算法①u(k)=A-1v(k-1)②若u(k)各分量中绝对值最大的分量为j第个分量uj(k)则令m(k)=uj(k)③令v(k)=u(k)m(k) k=123……

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    单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级矩阵的特征值及特征向量一特征值与特征向量的概念二特征值与特征向量的性质三特征值与特征向量的求法说明一特征值与特征向量的概念解例1 例2 解例3 设求A的特征值与特征向量.解得基础解系为:例4 证明:若 是矩阵A的特征值 是A的属于 的特征向量则

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