一、实数系二、上确界与下确界三、小结第一节实数系的连续性重点: 界与确界难点:确界、实数系的连续性第二章 数列极限一、实数系例1证(反证法)第一次数学危机2、最大数与最小数例2例3二、上确界与下确界1、上界与下界sup 是 supremum 的缩写 2、上确界inf 是 infimum 的缩写 3、下确界同理可证非空有下界的数集必有下确界证(反证法)只证上确界唯一例4证(反证法)T不是上界T不是最
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§1 连续性概念 §2 连续函数的性质 §3 初等函数的连续性y2 1 函数的增量(改变量) x3 如果函数 在 处不连续那么称函数 在 处是间断的并称点 为函数 的间断点或不连续点(2)1)的可去间断点xf((的左x?它属于第二类间断点.所以点x=1是
例35.基本初等函数的连续性解跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.仅在x=0处连续 其余各点处处间断.例8定理2 严格单调递增(递减)的连续函数必有严格单调递增(递减)的连续反函数 .定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.例11第一类间断点:可去型跳跃型.xx但练 习 题
的变化即)则称函数f(x)在点x0 即 若函数f (x)在点x0连续则函数f (x)在点x0处的如导线中电流通常是连续变化的但当电流是连续函数吗是连续函数所以由于超过整时后收费价格会突然增加因此在停车时为节省费用应尽量控制在整时之内由于一天的停车费最高价格不超过10元因此超过3小时后可以不急于取车
8. 极限与连续的关系 二函数在一点处连续的性质 1. 连续函数的四则运算 2. 复合函数的连续性第三节 连 续 2. 复合函数的连续性 3. 反函数的连续性设y=f(x)在[ab]上连续且单调增加f(a)=c f(b)=d. 则其反函数在[cd]上也连续且也是单调增加的.第三节 连 续三闭区间上连续函数的性质1. 有界性 2.介值定理 3.最大
一 函数的连续与间断定义1:若函数 f(x) 在(a b)内每一点都连续 则称函数 y=f (x) 在(a b)内连续 如果 f(x) 在点 x0 不能满足以上任何一个条件则点 x0 是函数 f(x) 的间断点故 x = 0 是该函数的间断点. xx(可去间断点)分界点为 x =1x =2而f(2)=5 定理11.要使函数解:11.小结1. 求函数的定义域:的定义域是(
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第九节连续函数的运算与初等函数的连续性四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性小结 思考题 作业初等函数的连续性1定理1如,则由于一、四则运算的连续性 也在点 x0连续; 在其定义域内连续 在点 x0连续; 在点 x0连续2如,结论:反三角函数在其定义域内皆连续定理2故同理,二、反函数与复合函数的连续性单调增加且连续,单调的连续函数必有单调的连续反函数也是单调增加且连续单调减少且连续单调增加且连
第九节连续函数的运算性质 闭区间上连续函数的性质一 连续函数的运算性质二 初等函数的连续性三 闭区间上连续函数的性质一连续函数的运算性质证由连续的定义及极限的四则运算法则,如定理 1(连续函数和差积商的连续性)定理 2 (复合函数的连续性)证:注:证明:定理 3 (反函数的存在与连续性)二 初等函数的连续性“基本初等函数”:幂 指数 对数 三角 反三角函数“初等函数”:由基本初等函数及常数经过有限
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